【BZOJ2732】[HNOI2012]射箭

Description

沫沫最近在玩一個二維的射箭遊戲，如下圖 1 所示，這個遊戲中的 x 軸在地面，第一象限中有一些豎直線段作為靶子，任意兩個靶子都沒有公共部分，也不會接觸坐標軸。沫沫控制一個位於(0,0)的弓箭手，可以朝 0 至 90?中的任意角度（不包括 0度和 90度），以任意大小的力量射出帶有穿透能力的光之箭。由於遊戲中沒有空氣阻力，並且光之箭沒有箭身，箭的軌跡會是一條標準的拋物線，被軌跡穿過的所有靶子都認為被沫沫射中了，包括那些 只有端點被射中的靶子。這個遊戲有多種模式，其中沫沫最喜歡的是闖關模式。在闖關模式中，第一關只有一個靶 子，射中這個靶子即可進入第二關，這時在第一關的基礎上會出現另外一個靶子，若能夠一箭 雙雕射中這兩個靶子便可進入第三關，這時會出現第三個靶子。依此類推，每過一關都會新出 現一個靶子，在第 K 關必須一箭射中前 K 關出現的所有 K 個靶子才能進入第 K+1 關，否則遊戲 結束。沫沫花了很多時間在這個遊戲上，卻最多只能玩到第七關“七星連珠”，這讓她非常困惑。 於是她設法獲得了每一關出現的靶子的位置，想讓你告訴她，最多能通過多少關

Input

輸入文件第一行是一個正整數N，表示一共有N關。接下來有N行，第i+1行是用空格隔開的三個正整數xi，yi1，yi2(yi1<yi2 )，表示第i關出現的靶子的橫坐標是xi，縱坐標的範圍是從yi1到yi2 。
輸入保證30%的數據滿足N≤100，50%的數據滿足N≤5000，100%的數據滿足N≤100000且給 出的所有坐標不超過109 。

Output

僅包含一個整數，表示最多的通關數。

Sample Input

Sample Output

HINT

題解：顯然先二分，然後變成了問你一堆不等式組是否有解。對於$ax^2+bx>=y$，等價於$b>=-ax+{y\over x}$，該不等式就變成了一條直線所分的半平面，我們判斷所有半平面是否有交即可。

由於a<0,b>0，所以要加一些輔助線做限制。並且由於半平面的交可以是一個點，所以一開始要將b>=...變成b>...-eps。最後，用long double。

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
using namespace std;
typedef long double ld;
const int maxn=500010;
const ld eps=1e-18;
struct point
{
	ld x,y;
	point() {}
	point(ld a,ld b) {x=a,y=b;}
	point operator + (const point &a) const {return point(x+a.x,y+a.y);}
	point operator - (const point &a) const {return point(x-a.x,y-a.y);}
	point operator * (const ld &a) const {return point(x*a,y*a);}
	ld operator * (const point &a) const {return x*a.y-y*a.x;}
};
struct line
{
	point p,v;
	ld a;
	line() {}
	line(point x,point y){p=x,v=y,a=atan2(v.y,v.x);}
}l[maxn];
int n,tot,h,t;
ld x[maxn],y[maxn],z[maxn];
int q[maxn];
inline point getp(line l1,line l2)
{
	point u=l1.p-l2.p;
	ld temp=(l2.v*u)/(l1.v*l2.v);
	return l1.p+l1.v*temp;
}
inline bool onlft(line a,point b)
{
	return a.v*(b-a.p)>0;
}
inline bool cmp(const line &a,const line &b)
{
	if(fabs(a.a-b.a)==0)	return !onlft(a,b.p);
	return a.a<b.a;
}
void HPI()
{
	sort(l+1,l+tot+1,cmp);
	int i,cnt;
	for(i=2,cnt=1;i<=tot;i++)	if(fabs(l[i].a-l[cnt].a)>0)	l[++cnt]=l[i];
	h=t=q[1]=1;
	for(i=2;i<=cnt;i++)
	{
		while(h<t&&!onlft(l[i],getp(l[q[t]],l[q[t-1]])))	t--;
		while(h<t&&!onlft(l[i],getp(l[q[h]],l[q[h+1]])))	h++;
		q[++t]=i;
	}
	while(h<t&&!onlft(l[q[h]],getp(l[q[t]],l[q[t-1]])))	t--;
}
bool check(int now)
{
	tot=0;
	int i;
	for(i=1;i<=now;i++)
		l[++tot]=line(point(0,y[i]/x[i]-eps),point(1,-x[i])),l[++tot]=line(point(0,z[i]/x[i]+eps),point(-1,x[i]));
	l[++tot]=line(point(-eps,eps),point(eps,1e10)),l[++tot]=line(point(-1e10,eps),point(1e10,2*eps)),
	l[++tot]=line(point(-1e10,1e10),point(-3*eps,-1e10)),l[++tot]=line(point(-eps,1e10),point(-1e10,4*eps));
	HPI();
	return t-h+1>=3;
}
inline int rd()
{
	int ret=0,f=1;	char gc=getchar();
	while(gc<‘0‘||gc>‘9‘)	{if(gc==‘-‘)f=-f;	gc=getchar();}
	while(gc>=‘0‘&&gc<=‘9‘)	ret=ret*10+gc-‘0‘,gc=getchar();
	return ret*f;
}
int main()
{
	//freopen("bz2732.in","r",stdin);
	n=rd();
	int i;
	for(i=1;i<=n;i++)	scanf("%Lf%Lf%Lf",&x[i],&y[i],&z[i]),y[i]+=eps,z[i]-=eps;
	int l=1,r=n+1,mid;
	while(l<r)
	{
		mid=(l+r)>>1;
		if(check(mid))	l=mid+1;
		else	r=mid;
	}
	printf("%d",l-1);
	return 0;
}//1 1 1 2

【BZOJ2732】[HNOI2012]射箭 二分+半平面交