sqrt 這一 pure -- 來看 單位矩陣 公式 let light

作者：Yang Eninala
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根據我的理解，大多數人用漢密爾頓四元數就只是做三維空間的旋轉變換（我反正沒見過其他用法）。那麽你不用學群論，甚至不用復習線性代數，看我下面的幾張圖就可以了。

首先，定義一個你需要做的旋轉。旋轉軸為向量，旋轉角度為（右手法則的旋轉）。如下圖所示：
此圖中,

那麽與此相對應的四元數（下三行式子都是一個意思，只是不同的表達形式）

這時它的共軛（下三行式子都是一個意思，只是不同的表達形式），

如果你想算一個點

在這個旋轉下新的坐標,需要進行如下操作，
1.定義純四元數

2.進行四元數運算

3.產生的一定是純四元數，也就是說它的第一項為0，有如下形式：

4.中的後三項就是：

這樣，就完成了一次四元數旋轉運算。

同理，如果你有一個四元數：

那麽，它對應一個以向量為軸旋轉角度的旋轉操作（右手法則的旋轉）。

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如果你想對四元數有著更深入的了解，請往下看。

四元數由漢密爾頓發明，這一發明起源於十九世紀的某一天。在這一天早上，漢密爾頓下樓吃早飯。這時他的兒子問他，“爸爸，我們能夠對三元數組（triplet，可以理解為三維向量）做乘法運算麽？”漢密爾頓說“不行，我只能加減它們。”

這時來自21世紀的旁白旁先生說，“大家快來看十九世紀的數學家有多二，連內積和外積都不是知道。”

十九世紀的漢密爾頓也許確實不知道內積和外積，但是他知道，他想要的三維向量乘法要比內積和外積運算“高大上”很多。這一乘法運算要滿足下列四條性質：
1.運算產生的結果也要是三維向量
2.存在一個元運算，任何三維向量進行元運算的結果就是其本身
3.對於任何一個運算，都存在一個逆運算，這兩個運算的積是元運算
4.運算滿足結合律

換而言之，漢密爾頓想定義的不是一個簡單的映射關系，而是一個群！（後來我們知道四元數所在群為S3，而四元數所代表的三維旋轉是SO(3)，前者是後者的兩倍覆蓋）內積連性質1都不滿足，外積不滿足性質3。

漢密爾頓先生就這麽被自己兒子提出的問題難倒了。經歷了無數個日日夜夜，他絞盡腦汁也沒想明白這個問題。終於有一天（1843年的一天），漢密爾頓先生終於意識到了，自己所需要的運算在三維空間中是不可能實現的，但在四維空間中是可以的，他是如此的興奮，以至於把四元數的公式刻在了愛爾蘭的一座橋上。

旁白：“WTF，我讓你講三維物體的旋轉，你給我扯到四維空間上去。”

（不加說明，以下所說四元數全為單位四元數）
其實，四元數有四個變量，完全可以被看作一個四維向量。單位四元數（norm=1）則存在於四維空間的一個球面上。，四元數乘以四元數其實看作（1）對進行左旋轉，或者（2）對進行右旋轉。所以從始至終，四元數定義的都是四維旋轉，而不是三維旋轉！任意的四維旋轉都可以唯一的拆分為一個左旋轉和一個右旋轉，表達出來就是。這裏，我們對四元數（四維向量）進行了一個左旋轉和一個右旋轉。結果當然是一個四元數，符合性質1。這個運算也同時符合性質2，3，4。

好了，說完了四維旋轉，我們終於可以說說三維旋轉了。說白了，三維旋轉就是四維旋轉的一個特例，就像二維旋轉是三維旋轉的一個特例一樣。說是特例其實不準確，準確的說是一個子集或者subgroup。為了進行三維旋轉運算，漢密爾頓首先在四維空間裏劃出了一塊三維空間。漢密爾頓定義了一種純四元數（pure quaternion），其表達式為。純四元數第一項為零，它存在於四維空間的三維超平面上，與三維空間中的三維向量一一對應。然後，就有了我們常見的這種左乘單位四元數，右乘其共軛的表達式。我真心不知道漢密爾頓是怎麽想出來的，不過回過頭來看，這個運算形式是為了限制其運算結果所在的空間。簡單的說，當對一個三維向量進行三維旋轉後，我們希望得到的是一個三維向量。（如果你真能得到一個四維向量，就不敢自己在家轉圈圈了吧，轉著轉著，就進入四次元了！）那麽這個左乘單位四元數，右乘其共軛的運算保證了結果是一個在三維超平面上中的純四元數。

把左乘和右乘表達為矩陣形式會讓我們看的更清楚一些。依照的定義，的矩陣形式為

很明顯，前面的矩陣雖然是一個4x4的四維旋轉矩陣，但是它只是在右下角3x3的區域內和一個單位矩陣有所不同。所以說，它是一個限制在三維超平面上的四維旋轉。如果表達式右邊不是共軛，而是任意四元數，那麽我們所作的就是一個很普通的四維旋轉。如果只是左乘一個單位四元數，右邊什麽都不乘，那麽我們得到的是四維旋轉的一個子集，這個子集並不能保證結果限制在三維超平面上。如果只右乘，不左乘也是一樣一樣的。

說了這麽多，對於堅持到最後的你，上圖一幅，以表感謝。

其實這張圖解釋了一個長久的疑問。為什麽四元數裏用的是而不是。這是因為做的就是一個的旋轉，而也做了一個的旋轉。我們進行了兩次旋轉，而不是一次，這兩次旋轉的結果是一個旋轉角為的旋轉。

unity----------------------四元數的概念