Bellman_ford算法詳解
昨天說的dijkstra固然很好用，但是卻解決不了負權邊，想要解決這個問題，就要用到Bellman-ford.
我個人認為Bellman-Ford比dijkstra要好理解一些，還是先上數據（有向圖）：
7 2 8 3 5 3 -6 4 -3 4 7 5 -2 5 -3
在講述開，先設幾個數組：
origin[i]表示編號為i這條邊的起點編號，如origin[4]=2
destination[i]表示編號為i這條邊的終點編號，如origin[5]=5
value[i]表示編號為i這條邊的權值，如value[3]=-6
dis[i]，和昨天一樣，源點到i號點的估計距離，經過不斷更新會變成時機距離，就是答案。
bellmanford的實際意義就是掃描一條邊，看如果走這條邊能不能使這條邊的dis[destination[i]],變少，現在我來模擬一下：
初始的dis：[0,∞,∞,∞,∞]
首先從第一條邊1 2 8開始，判斷走這條邊能不能使這條邊的終點的dis變短，原本dis[2]=∞，而dis[1]=0,而這條邊的權值：value[1]=8，0+8<∞所以將dis[2]更新成8.
dis[0,8,∞,∞,∞]
然後是第二條邊，用剛才的方法將dis[3]從∞更新成5.
dis[0,8,5,∞,∞]
第三條2 3 -8，原本的dis[3]=5,如果走第三條邊，則dis[3]=dis[2]+value[3]=8+(-6)=2<5,所以dis[3]更新成2.
dis[0,8,2,∞,∞]
以此類推，經過第一輪更新，dis數組如下：
dis[0,8,2,15,0]
但是第一次更新後，並不是最優解於是開始第二次更新。
按照第一次更新的步驟一步一步來得到的答案是
dis[0,8,2,-3,0]
這便是最優解，但是問題來了，一般要更新多少次呢？
n-1次。這樣能保證更新出的一定是最優解。
好了，呈上代碼：
#include <iostream> #include <algorithm> #include <cmath> #include <cstdio> #include <cstring> #include<cstdlib> using namespace std; int dis[10010]; int origin[10010],destination[10010],value[10010];//剛剛說過的三個數組 int n,m; void Bellman_ford(int a) { memset(dis,88,sizeof(dis));//賦初始值 dis[a]=0; for(int i=1;i<=n-1;i++)//更新n-1次 for(int j=1;j<=m;j++)//更新每一條邊 dis[destination[j]]=min(dis[destination[j]],dis[origin[j]]+value[j]);//判斷是否更新 } int main() { cin>>n>>m; for(int i=1;i<=m;i++) cin>>origin[i]>>destination[i]>>value[i]; Bellman_ford(1); for(int i=1;i<=n;i++) cout<<dis[i]<<" "; }
有些人可能發現了，很多時候實際上不用更新n-1次，因此我們可以用隊列優化：
每次選出隊首點，對與隊首點鏈接的所有點的dis進行更新，並加入隊列，然後隊首點pop出隊列，
這個算法最好用鄰接表實現，代碼如下：
#include <iostream> #include <algorithm> #include <cmath> #include <cstdio> #include <cstring> #include <cstdlib> #include <queue> using namespace std; int dis[10010]; int book[10010]; int origin[10010],destination[10010],value[10010]; int n,m; int total; int next[10010],head[10010]; void adl(int a,int b,int c)//鄰接表 { total++; origin[total]=a; destination[total]=b; value[total]=c; next[total]=head[a]; head[a]=total; } void Bellman_ford(int a) { memset(book,0,sizeof(book));//book[i]表示i號點是否在隊列裏 memset(dis,88,sizeof(dis)); queue <int> q; q.push(a); book[a]=1; dis[a]=0; while(!q.empty())//當隊列不為空時更新 { for(int e=head[q.front()];e;e=next[e])//枚舉隊首點相鄰的每一個點 { if(dis[destination[e]]>dis[origin[e]]+value[e]) { dis[destination[e]]=dis[origin[e]]+value[e]; if(book[destination[e]]==0) { q.push(destination[e]);//將更新的這一個點入隊 book[destination[e]]=1; } } } q.pop();//彈出隊首元素 } } int main() { cin>>n>>m; for(int i=1;i<=m;i++) { int a,b,c; cin>>a>>b>>c; adl(a,b,c); } Bellman_ford(1); for(int i=1;i<=n;i++) cout<<dis[i]<<" "; }
總結一下，bellman_ford的空間復雜度是m時間復雜度是O（nm），經過隊列優化，時間復雜度是<=O（nm）。
Bellman_ford算法詳解