風螺旋公切線算法詳解
風螺旋公切線算法詳解
2017-12-29 劉崇軍 風螺旋線好久不見，近來一切可好？2017年最後這段時間裏，狂補了一把C#，希望未來能夠從軟件代碼層面實現風螺旋算法的驗證與推廣。今天跟大家分享的這個話題的底圖就是最近一段時間的學習成果：一個基於WPF架構的非常簡單的繪圖框架，以及對風螺旋的自動化繪制進行的實現。閑話少敘，開始今天的主題。
在掌握了風螺旋切線計算的基礎上，就可以開始公切線算法的研究了。公切線的計算是飛行程序模板中非常關鍵的一項內容，因此，在開始模板算法分享之前，詳細回顧一下公切線的算法是非常有必要的。
風螺旋公切線計算首先是基於以下4個基礎設定：
/// 1. 同一程序模塊內，轉彎基礎參數相同。
/// 2. 風螺旋的切線與Esita方向相垂直。之前從原理及數學軟件上對此項內容進行了證明，這是公切線的一個基礎條件。
/// 3. Esita方向與對應的基準圓半徑之間的夾角恒等於偏流角DA。ICAO DOC8168中的配圖明確標註了此項內容DA= arcsin(w/v)。
/// 4. Esita的大小與sita角度可以互相換算。距離可以換算成旋轉角度，反之旋轉的角度可以換算為對應的距離。這是本公眾號中多次提及的一個基本概念。風螺旋是假想的航空器的飛行軌跡，對這個軌跡整體進行旋轉時，它的外擴規律符合按照Esita方向等距離外擴的特性，外擴的大小與旋轉過的角度有直接的換算關系。
除以上4個基礎設定以外，公切線計算中按照個人偏好使用了以下的標識來表示風螺旋的參數（如圖1所示）：
圖1 風螺旋參數示意圖
rotation： 從系統的零度旋轉至風螺旋起點的角度。航空地圖中采用的是磁北為零度，計算機系統中多數以水平向右為零度的起點，順時針角度增大為默認條件。
offset：表示外擴距離的一個量。對於一個風螺旋來說，外擴和旋轉角度可以互相換算，因此，最佳方案是對每一個風螺旋都設定一個初始的系統角度（rotation）和一個初始的外擴距離（offset）。
sita：用來表示從風螺旋起點開始實際的轉彎角度。通過該角度可以換算出從起點開始一共外擴了多少距離，或者用來表示風螺旋中的某個具體位置點。
Esita：與sita角相對應的外擴距離。這個Esita的方向與對應半徑的延長線之間的夾角為偏流角DA，與該位置處風螺旋切線的夾角為90度。
為了更清晰的表示計算關系，對圖1中的關鍵點進行編號得到圖2的內容：
圖2 風螺旋公切線的角度關系
圖2中繪制了兩條實心的風螺旋線ws1和ws2，以及與它們對應的無外擴的虛線風螺旋。虛線風螺旋與圓周的交點視為風螺旋的實際起始角度。旋轉與外擴可以相互換算，因此可知，實線風螺旋與虛線風螺旋之間是“等距平行”關系。
由於Esita與風螺旋的切線相垂直（基礎設定2），因此，若兩個風螺旋之間存在有公切線，則必定分別有兩個Esita與公切線相垂直，如圖1中的Esita1和Esita2，它們二者為平行關系。
由於兩個Esita與對應的半徑Radius之間夾角固定為偏流角DA（基礎設定3），因此可知對應半徑之間為平行關系。因為，兩條風螺旋的基礎參數是相同的，因此，兩個半徑是相等的。於是圖2中的abcd是一個平行四邊形。從d點向fc邊做垂線，得到垂足e點，可知defg是一個矩形。
ws2風螺旋在公切點位置處的Esita可以分成兩部分，EsitaA和EsitaB，前者與ws1中的外擴距離是相等的，後者產生的原因是兩條風螺旋初始條件的差異所造成。若每弧度可以外擴的距離為Edist，則EsitaB可表示為offset2 - offset1 + (rotation1-rotation2) * Edist，即初始外擴距離之差，加上初始角度之差所換算成的外擴距離，就構成了圖2中的EsitaB。圖2中的EsitaA可視為兩條風螺旋共同旋轉過的角度所形成的距離，因為外擴的效率是相同的，相同的外擴角度可以得到相同的外擴距離。rotation1-rotation2這個公式是浪費了兩天多的時間才最終糾錯糾出來的，之前在Flash系統中不存在此問題，C#中的繪圖系統真是復雜許多。rotation1-rotation2代表了以rotation2為基準角度，初始的角度差值。
具體的計算步驟如下：
1、放置風螺旋，計算dc線的角度。
當我們向屏幕中放置一條風螺旋時，它的中心點位置就可視為一個已知條件。設兩個中心點坐標分別為c1(x,y)，c2(x,y)，那麽，線段ab在軟件系統中的角度為: arctan((c2.y-c1.y)/(c2.x-c1.x))，這裏需要用到反正切函數，獲得一個角度值，稱之為基準線角度，用baseLineAngle來表示，圓心點間的距離用distance來表示。dc線與ab線平行且相等，因此，baseLineAngle就是dc線的方向。
2、計算dg線的角度。
圖2中⊿dce為一個直角三角形，∠cde的值用angle來表示，它等於arcsin(EsitaB/distance)。圖2中逆時針方向角度減小，因此可將線段dg的角度表示為：baseLineAngle
– angle - Pi/2 （所有角度值均用弧度來表示），公切線的方向就等於baseLineAngle – angle。
若ws1的外擴距離大於ws2時，angle角的值為負值，位置關系如圖3所示：
圖3 angle角為負值的情況
此時，∠cdg的值可表示為Pi/2 + angle（因為angle小於零），線段dg的角度可以表示為baseLineAngle -（Pi/2 + angle），化簡後，得到的公式為baseLineAngle – angle- Pi/2。與前面討論的angle大於零時的公式是完全一致的，也就是說不論ws1或ws2外擴距離誰大，dg線的角度始終可以用baseLineAngle – angle - Pi/2來表示，公切線的角度可以用baseLineAngle– angle來表示。
3、計算dg線的長度。
從dg線的角度反推對應的半徑的方向，可采用公式：baseLineAngle - angle - Pi/2 + DA（因為Esita與半徑的夾角總等於DA）。得到圓周半徑方向之後，分別與各自的rotation參數相減，就可以得到風螺旋真實的旋轉角度，用這個旋轉角度sita換算成外擴距離，再加上初始的外擴距離，就可以得到dg線的長度，角度、長度都知道以後，可以得到準確的切點位置。連接兩個切點的坐標，得到的線段即是兩條風螺旋線的公切線。
公切線的計算過程就是這樣，您get到了沒？
另外再附兩張公切線的示意圖，因為手工條件下真是很難想像公切線會出現在什麽地方（以後這個問題將不是問題 ：－））
這兩張圖與前面的圖的區別在於：初始的 rotation 大小關系對調了一下，結論完全相同。這就是自動化計算的魅力所在，哈哈哈。
可以預見的未來中，風螺旋線將成為一門新興的學科，它將與阿基米德螺旋、漸開線螺旋共同納入 等距螺旋 的框架，成為幾何課程的一部分，風螺旋相關計算將成為飛行程序設計入門課程的一部分。本公眾號將以此為目標持續努力，全面開源共享。期待在不遠的將來風螺旋線精確計算方法將成為DOC8168的一部分，並且成為飛行程序領域送給 幾何研究領域的一份禮物！
祝大家：新年快樂！
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