01背包

吶，為什麽叫它01背包呢，因為裝進去就是1，不裝進去就是0.所以針對每個物品就兩種狀態，裝，不裝（請允許我用這麽老套的開篇，相信聽過很多次背包講解的人，大多都是這個開篇的）所以咯，我這個背包啊，只要有足夠大的空間，這個物品是有可能被裝進去的咯。
所以有狀態轉移方程
dp[i][j] = max( dp[i-1][j] , dp[i-1][ j - weight[i] ] + value[i] )
然後二維數組的代碼寫法分分鐘就出來了，反正都是跟前一個狀態去轉移，也沒有什麽寫法上的限制。

代碼

並不優化

#include<bits/stdc++.h>  
using namespace
 
 std;  
int dp[1005][1005];  
int weight[1005];  
int value[1005];  
int main()  
{  
    int n,m;  
    cin>>m>>n;  
    memset(dp,0,sizeof(dp));//數組清空,其實同時就把邊界給做了清理  
    for(int i=1; i<=n; i++)  
        cin>>weight[i]>>value[i];  
    //從1開始有講究的因為涉及到dp[i-1][j],從0開始會越界  
    for
 
(int i=1; i<=n; i++)//判斷每個物品能否放進  
    {  
        for(int j=0; j<=m; j++)//對每個狀態進行判斷  
        //這邊兩重for都可以倒著寫，只是需要處理最邊界的情況，滾動數組不一樣  
        {  
            if(j>=weight[i])//能放進  
                dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-weight[i]]+value[i]);  

            else dp[i][j]=dp[i-1][j];//不能放進  
 

        }  
    }  
    cout<<dp[n][m]<<endl;  
    return 0;  
}

因為很容易超內存

用滾動數組優化

#include<bits/stdc++.h>  
using namespace std;  
int dp[1005];//滾動數組的寫法，省下空間
int weight[1005];  
int value[1005];  
int main()  
{  
    int n,m;  
    cin>>m>>n;  
    memset(dp,0,sizeof(dp));  
    for(int i=1; i<=n; i++)  
        cin>>weight[i]>>value[i];  
    for(int i=1; i<=n; i++){  //對每個數判斷，可反  
        for(int j=m; j>=weight[i]; j--)  {//這裏這個循環定死，不能反,反了就是完全背包  
            dp[j]=max(dp[j],dp[j-weight[i]]+value[i]);//其實不斷在判斷最優解，一層一層的  
        }  
    }  
    cout<<dp[m]<<endl;  
    return 0;  
}

完全背包

就像先前講的，完全背包是每個物品都無限，那麽我只要對著一個性價比最高的物品狂選就是了啊。？？
是嗎？有瑕疵啊！
反例一批一批的啊，認死了選性價比最高的，不一定是完全填滿背包的啊，萬一最後一個是剛好填滿背包的，而且價格湊起來剛好比全選性價比最高的物品高的情況比比皆是啊。
啊？什麽，特判最後一個狀態？
你在搞笑嗎|||- -，那我再往前推到倒數第二件，第三件咋辦。總不能對每個物品都特判吧。
所以正解就是動態規劃。狀態轉移方程如下：
dp[i][j] = max ( dp[i-1][j - k*weight[i]] +k*value[i] ) ( 0<=k*weight[i]<=m)

代碼

#include<bits/stdc++.h>  
using namespace std;  
int dp[100005];//m  
struct Node{  
    int a,b;  
}node[1005];//n  

int main(){  
    int n;  
    while(~scanf("%d",&n)){  
        for(int i=0;i<n;i++){  
            scanf("%d%d",&node[i].a,&node[i].b);  
        }  
        int m;  
        scanf("%d",&m);  
        memset(dp,0,sizeof(dp));  
        for(int i=0;i<n;i++){  
            for(int j=node[i].b;j<=m;j++){//這樣就是完全背包  
                dp[j]=max(dp[j],dp[j-node[i].b]+node[i].a);  
            }  
        }  
        printf("%d\n",dp[m]);  
    }  
    return 0;  
}

多重背包

理解了前面兩種背包，那麽第三種背包理解起來就毫不費力了
首先這種可以把物品拆開，把相同的num[i]件物品 看成 價值跟重量相同的num[i]件不同的物品，那麽！！是不是就轉化成了一個規模稍微大一點的01背包了。
那只是一種理解方法，其實正規的應該是這樣的
dp[i][j] = max ( dp[i-1][j - k*weight[i]] +k*value[i] ) 0<=k<=num[i]（這個跟完全背包差點就一毛一樣了）
那麽還是用滾動數組來寫，而且還又優化了下

代碼

#include<bits/stdc++.h>  
using namespace std;  
const int N = 1005;  

int dp[N];  
int c[N],w[N],num[N];  
int n,m;  

void ZeroOne_Pack(int cost,int weight,int n)//吧01背包封裝成函數  
{  
    for(int i=n; i>=cost; i--)  
        dp[i] = max(dp[i],dp[i-cost] + weight);  
}  

void Complete_Pack(int cost,int weight,int n)//把完全背包封裝成函數  
{  
    for(int i=cost; i<=n; i++)  
        dp[i] = max(dp[i],dp[i-cost] + weight);  
}  

int Multi_Pack(int c[],int w[],int num[],int n,int m)//多重背包  
{  
    memset(dp,0,sizeof(dp));  
    for(int i=1; i<=n; i++)//遍歷每種物品  
    {  
        if(num[i]*c[i] > m)  
            Complete_Pack(c[i],w[i],m);  
            //如果全裝進去已經超了重量，相當於這個物品就是無限的  
            //因為是取不光的。那麽就用完全背包去套  
        else  
        {  
            int k = 1;  
            //取得光的話，去遍歷每種取法  
            //這裏用到是二進制思想，降低了復雜度  
            //為什麽呢，因為他取的1,2,4,8...與余數個該物品，打包成一個大型的該物品  
            //這樣足夠湊出了從0-k個該物品取法  
            //把復雜度從k變成了logk  
            //如k=11，則有1,2,4,4，足夠湊出0-11個該物品的取法  
            while(k < num[i])  
            {  
                ZeroOne_Pack(k*c[i],k*w[i],m);  
                num[i] -= k;  
                k <<= 1;  
            }  
            ZeroOne_Pack(num[i]*c[i],num[i]*w[i],m);  
        }  
    }  
    return dp[m];  
}  

int main()  
{  
    int t;  
    cin>>t;  
    while(t--)  
    {  
        cin>>m>>n;  
        for(int i=1; i<=n; i++)  
            cin>>c[i]>>w[i]>>num[i];  
        cout<<Multi_Pack(c,w,num,n,m)<<endl;  
    }  
    return 0;  
}

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【dp】背包問題