最長公共子序列問題在算法導論中引申自確定DNA序列相似度的問題：給定兩個DNA序列S1和S2，尋找第三個序列S3，要求序列S3中的元素都來源於S1和S2，且在這三個序列中先後順序相同，但在S1和S2中不要求連續，如果找到這樣的S3序列越長，可以認為S1和S2相似度越高。

問題描述：

給定兩個序列X=<x₁,x₂,x₃...x_m>和序列Y=<y₁,y₂,y₃...y_n>，求X和Y的最長公共子序列(LCS)。

分析：

分析其最優子結構性質需要從x_m和y_n入手，假設序列Z=<z₁,z₂,z₃...z_k>是序列X和Y的LCS

1、如果x_m=y_n，說明這兩個元素（實際上為同一個）必然在Z中，由於這兩個元素同時最為X和Y的最後一個元素，不難推斷，x_m

2、如果x_m!=y_n，且z_k!=x_m，那麽x_m必定不在Z中，但是y_n有可能在Z中，因此可以判定，Z是X_m-1和Y的一個LCS。

3、如果x_m!=y_n，且z_k!=y_n，那麽y_n必定不在Z中，但是x_m有可能在Z中，因此可以判定，Z是X和Y_n-1的一個LCS。

用C(i,j)表述Xi和Yi的LCS，其遞推式可以表示為：

實際上可以看出對於每一個子問題C(i,j)的求解，不會用到太多的子子問題的解，字需要用到C(i-1,j-1)的解或者C(i-1,j)和C(i,j-1)的解。

也就是說求解當前表格的值只有其左方表格，上方表格和左上方的表格有關。

因此填充C(i,j)二維表格的順序應該是從左到右，從上到下的順序，這也是求解子問題的順序。

算法實現：

package agdp;

import java.util.Arrays;
public class LCS {
    public static int getLCS(String strA,String strB){
        int m = strA.length();
        int n = strB.length();
        int[][] aux = new int[m+1][n+1];//aux的第0行和第0列充當哨兵，無實際含義
 
        for (int i = 0; i < m; i++) {
            for (int j = 0; j < n; j++) {
                if (strB.charAt(j) == strA.charAt(i)) {
                    aux[i+1][j+1] = aux[i][j]+1;
                }else {
                    aux[i+1][j+1] = Math.max(aux[i+1][j], aux[i][j+1]);
                }
            }
        }
        return aux[m][n];
    }
    public static void main(String[] args) {
        // TODO Auto-generated method stub
//        String strA = "ABCBDAB";
//        String strB = "BDCABA";
        String strA = "abfgkhrc";
        String strB = "11a11bfgh33";
        int result = getLCS(strA, strB);
        System.out.println(result);
    }

}

參考資料：

算法導論.第十五章

最長公共子序列(LCS)