題目描述

給出1-n的兩個排列P1和P2，求它們的最長公共子序列。

輸入

第一行是一個數n，

接下來兩行，每行為n個數，為自然數1-n的一個排列。

一個數，即最長公共子序列的長度

5 
3 2 1 4 5
1 2 3 4 5

3

說明

對於50%的數據，n≤1000

對於100%的數據，n≤100000

思路

常見的LCS問題是通過O(n²)的DP解決的，顯然此題的數據是過不去的

如何想辦法？

這裏就要參考在特殊條件下LCS與LIS（最長上升序列）的轉換

我們記錄下第一個排列每一個數字出現的位置，即Hash[ ai ] = i

而這個序列再按第二個排列排序，即新型成的序列Seq[ i ] = Hash[ bi ]

這樣做了以後發現有什麽規律呢？

新的序列Seq是滿足B排列的先後順序單調遞增的，而在Seq的Hash值是按A排列的先後順序單調遞增的

那麽在Seq中找到的最長上升序列就是同時滿足A序列和B序列的先後關系的一個子序列

這樣就把LCS成功的轉換成了LIS問題

我們知道LIS的問題是可以O(n log n) 的解決的，在此不作贅述。

那麽我們前面提到的特殊條件是什麽呢？

由於這裏記錄的是Hash值，所以不能有重復的數字。

代碼

 1 #include<set>
 2 #include<map>
 3
 
 #include<stack>
 4 #include<queue>
 5 #include<cstdio>
 6 #include<cstring>
 7 #include<iostream>
 8 #include<algorithm>
 9 #define RG register int
10 #define rep(i,a,b)    for(RG i=a;i<=b;i++)
11 #define per(i,a,b)    for(RG i=a;i>=b;i--)
12 #define
 
 ll long long
13 #define inf (1<<30)
14 #define maxn 100005
15 using namespace std;
16 int n,cnt;
17 int hash[maxn],seq[maxn],dp[maxn];
18 inline int read()
19 {
20     int x=0,f=1;char c=getchar();
21     while(c<‘0‘||c>‘9‘){if(c==‘-‘)f=-1;c=getchar();}
22     while(c>=‘0‘&&c<=‘9‘){x=x*10+c-‘0‘;c=getchar();}
23     return x*f;
24 }
25 
26 void solve()
27 {
28     int l,r,mx=0,mid,p;
29     rep(i,1,n)
30     {
31         l=1,r=mx,p=0;
32         while(l<=r)
33         {
34             mid=(l+r)>>1;
35             if(dp[mid]<=seq[i])    p=mid,l=mid+1;
36             else r=mid-1;
37         }
38         if(p==mx)    dp[++mx]=seq[i];
39         else dp[p+1]=min(dp[p+1],seq[i]);
40     }
41     cout<<mx;
42 }
43 
44 int main()
45 {
46     int tmp;
47     n=read();
48     rep(i,1,n) tmp=read(),hash[tmp]=i;
49     rep(i,1,n) tmp=read(),seq[++cnt]=hash[tmp];//如果兩個序列的值有不相同的，請在逗號處加上 if(hash[tmp])，此題因為是排列所以不用加
50     solve();
51     return 0;
52 }

最長公共子序列-LCS問題 (LCS與LIS在特殊條件下的轉換) [洛谷1439]