前言：結論題似乎是我的硬傷……

題意是給你一個無向圖，已知連接到每一個點的邊的權值和（為整數，且屬於區間[-n,n]），需要求出每條邊權值的一個合法解（都要是在區間[-2*n^2,2*n^2]內的整數）。

第一個想法當然是O(n^2*m)的高斯消元。在此基礎上，我想過通過選取某些節點，在邊權總和中減去與之相鄰的邊，來逐個解出邊的權值。這個本質上是優化解方程的辦法難以適應全部情況，且難以通過編程實現。於是只能舍棄這個想法。

後來通過漫無邊際的瞎想，觀察標題，容易發現對於一棵樹求解這個問題是極為容易的。於是下一個思路就是把這個無向圖轉化為一棵樹。如下圖所示，偶環的情況是很容易就能解決的。（無腦刪邊）

那麽奇環怎麽辦呢？事實上，本人就卡在了這裏。如果按照偶環的方法來解釋奇環刪邊的合法性，我們發現最終有一個點的點權增加了2a。陷入僵局。這時，不妨讓我們再考慮一下對樹求解的過程。也就是一次dfs，對於除根結點之外的每一個結點都滿足其權值和，再根據根結點是否滿足其約束條件來判斷是否有解。註意到上面奇環的操作，實質就意味著如果我們以一個奇環上的點為根結點，那麽就可以在最後判斷的時候任意加上一個偶數了。容易證明，最後與根結點相鄰的邊權和與其應有的邊權和之差一定是一個偶數。也就是說，有奇環的圖是一定有解的。因此，我們如上的處理奇環的方式，並不會影響解的存在性。

於是，我們就得到了處理環的方式：都不鳥它，並從奇環上隨意拉一個點當根結點。

講到這裏，我們似乎還忽略了一個條件。

write a weight between ?-?2·n² and 2·n² (inclusive) on each edge

當然，這個範圍是相當大的，一般而言解是一定在這個區間內的（也僅限一般而言）。基於cf是一個有hack機制的網站，毫無疑問會有數據把你的解卡出這個區間（對本人而言是test 34）。因此，random_shuffle是必不可缺的。

時間復雜度O(n+m)。

  1 #include <bits/stdc++.h>
  2 #define int long long
  3 #define tag(i) (ed[((i)|1)>>1].id)
  4
 
 using namespace std;
  5 const int N = 100010;
  6 struct edge {
  7     int la,b;
  8     edge(int la=0,int b=0):la(la),b(b) {};
  9 } con[N<<1];
 10 int tot=1,fir[N];
 11 void add(int from,int to) {
 12     con[++tot] = edge(fir[from],to);
 13     fir[from] = tot;
 14     con[++tot] = edge(fir[to],from);
 15     fir[to] = tot;
 16 }
 17 int c[N],ans[N],n,m,cnt,dep[N],rt,ano,fat[N],up[N],mar[N];
 18 typedef pair<int,int> pii;
 19 struct data {
 20     int a,b,id;
 21     data(int a=0,int b=0,int id=0):a(a),b(b),id(id){}
 22 } ed[N];
 23 pii ext[N];
 24 bool vis[N];
 25 void dfs_init(int pos,int fa) {
 26     fat[pos] = fa;
 27     vis[pos] = 1;
 28     dep[pos] = dep[fa] + 1;
 29     for (int i = fir[pos] ; i ; i = con[i].la) {
 30         if (con[i].b == fa) continue;
 31         if (vis[con[i].b]) {
 32             if (pos > con[i].b) ext[++cnt] = pii(pos,i);
 33         } else dfs_init(con[i].b,pos),up[con[i].b] = tag(i);
 34     }
 35 }
 36 int dfs(int pos,int fa) {
 37     vis[pos] = 1;
 38     int now = c[pos];
 39     for (int i = fir[pos] ; i ; i = con[i].la) {
 40         if (vis[con[i].b]) continue;
 41         now -= (ans[tag(i)] = dfs(con[i].b,pos));
 42     }
 43     return now;
 44 }
 45 bool ocy(pii x) {
 46     int a = x.first, b = con[x.second].b;
 47     return (dep[a] + dep[b] + 1)&1;
 48 }
 49 void print() {
 50     puts("YES");
 51     for (int i = 1 ; i <= m ; ++ i) {
 52         cout << ans[i] << endl;
 53     }
 54 }
 55 void modify(int x,int y) {
 56     int k1 = 1, k2 = -1;
 57     while (dep[x] > dep[y]) {
 58         mar[up[x]] += k1;
 59         k1 = -k1;
 60         x = fat[x];
 61     }
 62     while (dep[y] > dep[x]) {
 63         mar[up[y]] += k2;
 64         k2 = -k2;
 65         y = fat[y];
 66     }
 67     while (x != y) {
 68         mar[up[x]] += k1;
 69         k1 = -k1;
 70         x = fat[x];
 71         mar[up[y]] += k2;
 72         k2 = -k2;
 73         y = fat[y];
 74     }
 75 }
 76 signed main() {
 77     int a,b;
 78     cin >> n >> m; 
 79     for (int i = 1 ; i <= n ; ++ i) cin>>c[i];
 80     for (int i = 1 ; i <= m ; ++ i) {
 81         cin >> a >> b;
 82         ed[i] = data(a,b,i);
 83     }
 84     random_shuffle(ed+1,ed+m+1);
 85     for (int i = 1 ; i <= m ; ++ i) add(ed[i].a,ed[i].b);
 86     dfs_init(1,0);
 87     for (int i = 1 ; i <= cnt ; ++ i) {
 88         if (ocy(ext[i])) {
 89             rt = ext[i].first, ano = con[ext[i].second].b;
 90             modify(rt,ano);
 91             mar[tag(ext[i].second)] ++;
 92             break;
 93         }
 94     }
 95     memset (vis,0,sizeof vis);
 96     if (rt) {
 97         int uns = dfs(rt,0)>>1;
 98         for (int i = 1 ; i <= m ; ++ i) ans[i] += mar[i] * uns;
 99         print();
100     } else {
101         if (dfs(1,0) != 0) puts("NO");
102         else print();
103     }
104     return 0;
105 }

小結：關於我卡在奇環無從下手，應該是缺乏與實際算法的運行相結合。

【做題】Codeforces Round #453 (Div. 1) D. Weighting a Tree——拆環