Description

你正在玩你最喜歡的電子遊戲，並且剛剛進入一個獎勵關。在這個獎勵關裏，系統將依次隨機拋出k次寶物，每次你都可以選擇吃或者不吃（必須在拋出下一個寶物之前做出選擇，且現在決定不吃的寶物以後也不能再吃）。
寶物一共有n種，系統每次拋出這n種寶物的概率都相同且相互獨立。也就是說，即使前k-1 次系統都拋出寶物1（這種情況是有可能出現的，盡管概率非常小），第k次拋出各個寶物的概率依然均為1/n。
獲取第 i 種寶物將得到Pi分，但並不是每種寶物都是可以隨意獲取的。第i種寶物有一個前提寶物集合Si。只有當Si中所有寶物都至少吃過一次，才能吃第i 種寶物（如果系統拋出了一個目前不能吃的寶物，相當於白白的損失了一次機會）。註意，Pi 可以是負數，但如果它是很多高分寶物的前提，損失短期利益而吃掉這個負分寶物將獲得更大的長期利益。

Solution

期望DP，註意到\(n\)很小，可以狀壓
設 \(dp[i][j]\) 為走到 \(i\) 這個節點當前的狀態為 \(j\) 的最大期望分值
\(dp[i][S]+=max(dp[i+1][S],1.0*(a[j]+dp[i+1][S|(1<<(j-1))]))/n\)，該狀態包含該寶物的前提.
\(dp[i][S]+=dp[i+1][S]/n\)，該寶物的前提沒有被包含
註意期望DP倒推.

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstdlib>
 

#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#define RG register
#define il inline
#define iter iterator
#define Max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
#define Min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=105;
double dp[N][1<<15];int a[N],c[N];
void
 
 work()
{
    int K,n,x;
    scanf("%d%d",&K,&n);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d",&a[i]);
        scanf("%d",&x);
        while(x)c[i]|=(1<<(x-1)),scanf("%d",&x);
    }
    int lim=1<<n;
    for(int i=K;i>=1;i--){
        for(int S=0;S<lim;S++){
            for(int j=1;j<=n;j++){
                int T=c[j];
                if((S&T)==T)
                    dp[i][S]+=
              max(dp[i+1][S],1.0*(a[j]+dp[i+1][S|(1<<(j-1))]))/n;
                else dp[i][S]+=dp[i+1][S]/n;
            }
        }
    }
    printf("%.6lf\n",dp[1][0]);
}

int main()
{
    work();
    return 0;
}

bzoj 1076: [SCOI2008]獎勵關