線性代數-#2 用消元法解線性方程組

#2實現了#1中的承諾，介紹了求解線性方程組的系統方法——消元法。

既然是一種系統的方法，其基本步驟可以概括如下：

1.將方程組改寫為增廣矩陣：

為了省去傳統消元法中反復出現但是沒有應用價值的未知數符號和運算符，我們可以將線性方程組表示為增廣矩陣的形式，也就是把“Ax=b”中的b附在A右側;

2.確定第一列中的一個非零元素為主元，以方框框起示之。此元素所在行即為主元行：

一般第n個主元選在第n行。若在進行行變換（交換上下行）後仍沒有可供選擇的非零元素，則說明消元法失效，也即該方程組沒有唯一的解，下同;

3.主元行原樣寫入新矩陣，同時乘以合適的系數與第二行相加使得主元下方的元素變為0，得到的新行寫入新矩陣，未作處理的行原樣寫入。以此類推，直到主元列除了主元外的所有元素（一般為主元下方的元素）為0：

包括最右一行在內，遵循一一數乘，對應相加的原則，不要出現計算錯誤;

4.確定第二列中的主元;

5.重復步驟3;

6.以此類推，直到增廣矩陣中原屬A的部分變為上三角矩陣U，原屬b的一列變為c，也即“Ax=b”變為“Ux=c”;

7.在U中添加未知數符號和運算符，將U變回方程組，自下而上解出全部未知數。

此類消元法的描述方法還是摻雜了傳統方法中的運算方法（倍乘、相加）。如果將其單純用矩陣語言進行描述，雖然在解方程中不具有實際應用價值，但是可以引出後續學習中矩陣乘法的一些概念。

比如：

1.行向量乘以矩陣的運算法則：

逐行對應，數乘相加，縱向排列結果，構成新的矩陣；

2.通過左乘初等矩陣E的方法進行行變換：

其中一種僅由1,0構成的特殊的初等矩陣，即乘了和沒乘一樣，即矩陣中的1，我們稱之為單位矩陣I。此外，不難猜出，右乘E可以進行列變換；

3.矩陣乘法可以從行出發，可以從列出發，也可以從元素出發：

從元素出發意即運算結果中的（m,n）等於左矩陣的m行乘以右矩陣的n列；

4.矩陣乘法中矩陣的排列順序不能變，而乘法的運算次序即括號的位置可以任意移動：

即矩陣乘法滿足結合律而不滿足交換律；

5.通過某矩陣乘其逆矩陣等於單位矩陣I的關系可以求得其逆矩陣。

此外，Prof. Strang 在本節課中提及了自己對線性代數這門獨立學科的一些經驗總結，摘錄如下，相信在以後的學習中會進一步加深對其的理解：

1.“線性代數的核心是進行矩陣變換。”

2.“矩陣變換的基本方法是分別用行和列進行矩陣計算。”

3.“矩陣計算時應始終著眼於整個向量。”

數學-線性代數-#2 用消元法解線性方程組