線性代數導論-#9 Ax=b的解：存在性、解法、解的結構、解的數量

終於，我們在b為參數的一般情況下，開始分析Ax=b的解，包括標題中的四個方面。

首先是解的存在性。

從幾何上說，當且僅當向量b位於列空間C(A)內時，Ax=b有解；

從代數上說，不能出現類似於“非0數=0”的矛盾方程：

1.這為我們判定是否有解提供了一個簡便的途徑：

根據Gauss消元法中對A和b進行行變換的同步性，行的相同線性組合其值一定相同。

所以加入A中各行可以通過簡單的線性組合得到零行，而b進行相同線性組合的結果非0，則該方程組一定無解。

2.這為我們面對b為參數的一般情況進行的分類討論提供了依據：

當我們使用Gauss消元法得到A中的零行時，回代前應該針對零行所對應的新b值是否為0進行分類討論。

其次是解法、解的數量和解的結構，這裏要求我們遷移之前解Ax=0的知識。

解法和解Ax=0大致相同。使用Guass消元法，確定主元，進一步確定主元變量和自由變量。

1.求出特解X_p：

置全部自由變量為0（簡化運算），回代解出主元變量，得到Ax=b的一個解；

2.解出Ax=0的全部解X_N：

也即基向量的全部線性組合，含有1或2個常數c；

3.通解X=X_p+X_N：

因為A(Xp+X_N)=AX_p+AX_N=b+0=b，這也就是所謂“解的結構”，通解由一個特解和零空間內的全部向量組成。

從幾何上說，解空間由零空間平移得到。

但是，這種方法存在缺陷，不通用。問題就出在第一步。

如果沒有自由變量怎麽辦？那後續的方法如何進行？解的結構還是那兩個部分嗎？

還有，如果根本就沒有解，怎麽辦？
為了確定解的存在性；為了確定自由變量的個數，發掘其與解的數量及與之相對應的結構的關系，我們需要研究秩的概念。

之前已經提及，秩r=主元數。

如何利用r判定一個由m*n矩陣A構成的方程Ax=b的解的數量呢？

關鍵是：

1.自由變量的個數n-r（主元不同列），即r與n的相對關系；

2.零行（可能出現“非0數=0”的矛盾情況）的個數m-r（主元不同行以及主元非0），即r與m的相對關系；

綜合考慮，只可能出現以下四種情況（根據主元選取規則，r顯然小於等於m和n）：

1.r=m=n（”滿秩”），一定有唯一解：

（1）沒有零行，一定有解；

（2）沒有自由變量，解唯一（回代之後解出）。

2.r=m且r<n（“行滿秩”），一定有無窮多個解：

（1）沒有零行，一定有解；

（2）有自由變量，有無窮多個解；

3.r<m且r=n（“列滿秩”），解的個數為0或1：

（1）有零行，可能無解；

（2）沒有自由變量，如果有解，則解唯一；

4.r<m且r<n，解的個數為0或無窮大：

（1）有零行，可能無解；

（2）有自由變量，如果有解，則有無窮多個解。

r與m，n的相對關系可以作為判據，檢查我們求出的解正確與否（是否存在以及是否完備）。

數學-線性代數導論-#9 Ax=b的解：存在性、解法、解的數量、解的結構