【轉載】樹狀數組詳解
第01講 什麽是樹狀數組？
樹狀數組用來求區間元素和，求一次區間元素和的時間效率為O(logn)。
有些同學會覺得很奇怪。用一個數組S[i]保存序列A[]的前i個元素和，那麽求區間i,j的元素和不就為S[j]-S[i-1]，那麽時間效率為O(1)，豈不是更快？
但是，如果題目的A[]會改變呢？例如：
我們來定義下列問題：我們有n個盒子。可能的操作為
1.向盒子k添加石塊
2.查詢從盒子i到盒子j總的石塊數
自然的解法帶有對操作1為O(1)而對操作2為O(n)的時間復雜度。但是用樹狀數組，對操作1和2的時間復雜度都為O(logn)。
第02講 圖解樹狀數組C[]
現在來說明下樹狀數組是什麽東西？假設序列為A[1]~A[8]
網絡上面都有這個圖，但是我將這個圖做了2點改進。
（1）圖中有一棵滿二叉樹，滿二叉樹的每一個結點對應A[]中的一個元素。
（2）C[i]為A[i]對應的那一列的最高的節點。
現在告訴你：序列C[]就是樹狀數組。
那麽C[]如何求得？
C[1]=A[1];
C[2]=A[1]+A[2];
C[3]=A[3];
C[4]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4];
C[5]=A[5];
C[6]=A[5]+A[6];
C[7]=A[7];
C[8]= A[1]+A[2]+A[3]+A[4]+A[5]+A[6]+A[7]+A[8];
以上只是枚舉了所有的情況，那麽推廣到一般情況，得到一個C[i]的抽象定義：
因為A[]中的每個元素對應滿二叉樹的每個葉子，所以我們幹脆把A[]中的每個元素當成葉子，那麽：C[i]=C[i]的所有葉子的和。
現在不得不引出關於二進制的一個規律：
先仔細看下圖：
將十進制化成二進制，然後觀察這些二進制數最右邊1的位置：
1 --> 00000001
2 --> 00000010
3 --> 00000011
4 --> 00000100
5 --> 00000101
6 --> 00000110
7 --> 00000111
8 --> 00001000
1的位置其實從我畫的滿二叉樹中就可以看出來。但是這與C[]有什麽關系呢？
接下來的這部分內容很重要：
在滿二叉樹中，
以1結尾的那些結點（C[1],C[3],C[5],C[7]），其葉子數有1個，所以這些結點C[i]代表區間範圍為1的元素和；
以10結尾的那些結點（C[2],C[6]），其葉子數為2個，所以這些結點C[i]代表區間範圍為2的元素和；
以100結尾的那些結點（C[4]），其葉子數為4個，所以這些結點C[i]代表區間範圍為4的元素和；
以1000結尾的那些結點（C[8]），其葉子數為8個，所以這些結點C[i]代表區間範圍為8的元素和。
擴展到一般情況：
i的二進制中的從右往左數有連續的x個“0”，那麽擁有2^x個葉子，為序列A[]中的第i-2^x+1到第i個元素的和。
終於，我們得到了一個C[i]的具體定義：
C[i]=A[i-2^x+1]+…+A[i]，其中x為i的二進制中的從右往左數有連續“0”的個數。
第03講 利用樹狀數組求前i個元素的和S[i]
理解了C[i]後，前i個元素的和S[i]就很容易實現。
從C[i]的定義出發：
C[i]=A[i-2^x+1]+…+A[i]，其中x為i的二進制中的從右往左數有連續“0”的個數。
我們可以知道：C[i]是肯定包括A[i]的，那麽：
S[i]=C[i]+C[i-2^x]+…
也許上面這個公式太抽象了，因為有省略號，我們拿一個具體的實例來看：
S[7]=C[7]+C[6]+C[4]
因為C[7]=A[7]，C[6]=A[6]+A[5]，C[4]=A[4]+A[3]+A[2]+A[1]，所以S[7]=C[7]+C[6]+C[4]
（1）i=7，求得x=0，那麽我們求得了A[7]；
（2）i=i-2^x=6，求得x=1，那麽求得了A[6]+A[5]；
（3）i=i-2^x=4，求得x=2，那麽求得了A[4]+A[3]+A[2]+A[1]。
講到這裏其實有點難度，因為S[i]的求法，如果要講清楚，那麽得寫太多的東西了。所以不理解的同學，再反復多看幾遍。
從（1）（2）（3）這3步可以知道，求S[i]就是一個累加的過程，如果將2^x求出來了，那麽這個過程用C++實現就沒什麽難度。
現在直接告訴你結論：2^x=i&(-i)
證明：設A’為A的二進制反碼，i的二進制表示成A1B，其中A不管，B為全0序列。那麽-i=A’0B’+1。由於B為全0序列，那麽B’就是全1序列，所以-i=A’1B，所以：
i&(-i)= A1B& A’1B=1B，即2^x的值。
所以根據（1）（2）（3）的過程我們可以寫出如下的函數：
int Sum(int i) //返回前i個元素和
{
int s=0;
while(i>0)
{
s+=C[i];
i-=i&(-i);
}
return s;
}
第04講 更新C[]
正如第01講提到的小石塊問題，如果數組A[i]被更新了怎麽辦？那麽如何改動C[]？
如果改動C[]也需要O(n)的時間復雜度，那麽樹狀數組就沒有任何優勢。所以樹狀數組在改動C[]上面的時間效率為O(logn)，為什麽呢？
因為改動A[i]只需要改動部分的C[]。這一點從第02講的圖中就可以看出來：
如上圖：
假如A[3]=3，接著A[3]+=1，那麽哪些C[]需要改變呢？
答案從圖中就可以得出：C[3],C[4],C[8]。因為這些值和A[3]是有聯系的，他們用樹的關系描述就是：C[3],C[4],C[8]是A[3]的祖先。
那麽怎麽知道那些C[]需要變化呢？
我們來看“A”這個結點。這個“A”結點非常的重要，因為他體現了一個關系：A的葉子數為C[3]的2倍。因為“A”的左子樹和右子樹的葉子數是相同的。 因為2^x代表的就是葉子數，所以C[3]的父親是A，A的父親是C[i+2^0]，即C[3]改變，那麽C[3+2^0]也改變。
我們再來看看“B”這個結點。B結點的葉子數為2倍的C[6]的葉子數。所以B和C[6+2^1]在同一列，所以C[6]改變，C[6+2^1]也改變。
推廣到一般情況就是：
如果A[i]發生改變，那麽C[i]發生改變，C[i]的父親C[i+2^x]也發生改變。
這一行的叠代過程，我們可以寫出當A[i]發生改變時，C[]的更新函數為：
void Update(int i,int value) //A[i]的改變值為value
{
while(i<=n)
{
C[i]+=value;
i+=i&(-i);
}
}
第05講 一維樹狀數組的應用舉例
廢了4講的話，我們終於把一維樹狀數組的2個不到5行的代碼給搞定了。現在要正式投入到應用當中。
題目鏈接：http://poj.org/problem?id=2352
題意：按照y升序給你n個星星的坐標，如果有m個星星的x,y坐標均小於等於星星A的坐標，那麽星星A的等級為m。
分析：是一道樹狀數組題。舉例來說，以下是題目的輸入：
5
1 1
5 1
7 1
3 3
5 5
由於y坐標是升序的且坐標不重復，所以在星星A後面輸入的星星的x,y坐標不可能都小於等於星星A。假如當前輸入的星星為（3,3），易得我們只需要去找 樹狀數組中小於等於3的值就可以了，即GetSum(3)。註意：A[i]表示x坐標為i的個數，C[]為A[]的樹狀數組，那麽GetSum(i)就是 序列中前i個元素的和，即x小於等於i的星星數。
本題還是一點要註意：星星坐標的輸入可以是（0,0），所以我們把x坐標統一加1，然後用樹狀數組實現。
第06講 二維樹狀數組
BIT可用為二維數據結果。假設你有一個帶有點的平面(有非負的坐標)。你有三個問題：
1.在(x , y)設置點
2.從(x , y)移除點
3.在矩形(0 , 0), (x , y)計算點數 - 其中(0 , 0)為左下角，(x , y)為右上角，而邊是平行於x軸和y軸。
對於1操作，在（x,y）處設置點，即Update(x,y,1)，那麽這個Update要怎麽寫？很簡單，因為x，y坐標是離散的，所以我們分別對x,y進行更新即可，函數如下：
void Update(int x,int y,int val)
{
while(x<=n)
{
int y1=y;
while(y1<=n)
{
C[x][y1]+=val;
y1+=y1&(-y1);
}
x+=x&(-x);
}
}
那麽根據Update可以推得：GetSum函數為：
int GetSum(int x,int y)
{
int sum=0;
while(x>0)
{
int y1=y;
while(y1>0)
{
sum+=C[x][y1];
y1-=y1&(-y1);
}
x-=x&(-x);
}
return sum;
}
第07講 二維樹狀數組的應用舉例
題目鏈接：http://poj.org/problem?id=2155
我們先討論POJ2155的一維情況，如下：
有一個n卡片的陣列。每個卡片倒放在桌面上。你有兩個問題：
1. T i j (反轉從索引i到索引j的卡片，包括第i張和第j張卡——面朝下的卡將朝上；面朝上的卡將朝下)
2. Q i (如果第i張卡面朝下回答0否則回答1)
解決：
解決問題(1和2)的方法有時間復雜度O(log n)。在數組f(長度n + 1)我們存儲每個問題T(i, j)——我們設置f[i]++和f[j + 1]--。對在i和j之間(包括i和j)每個卡k求和f[1] + f[2] + ... + f[k]將遞增1，其他全部和前面的一樣(看圖2.0清楚一些)，我們的結果將描述為和(和累積頻率一樣)模2。
圖 2.0
使用BIT來存儲(增加/減少)頻率並讀取累積頻率。
理解了一維的情況，POJ2155就是其二維的版本，易得只需要更(x1,y1)，(x1,y2+1)，(x2+1,y1)，(x2+1,y2+1)四個點的C[]的值就可以了，最後的結果依然是GetSum(x,y)%2
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