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最大XOR和路徑

格式難調，題面就不放了。

　　分析：

　　一道需要深刻理解線性基的題目。

　　好久沒打過線性基的題了，一開始看到這題還是有點蒙逼的，想了幾種方法全被否定了。還是看了大佬的題解才會做的。

　　首先我們能想到，在圖中從$1$走到$n$有這麽兩種情況，一種是一條鏈直接走到$n$，另一種是先走鏈然後繞若幹個環然後回到鏈上走到$n$。對於這道題顯然我們是要考慮所有的環的（由異或的性質可知）。

　　然後我們又可以發現，如果一條鏈和一個環中間有一條路徑相連，那麽我們從鏈上走到環上時會經過這條路徑一次，從環上回到鏈上時又會走這條路徑一次，那麽兩次走過的路徑異或和就是$0$！

　　再看，如果從$1$走到$n$有若幹條鏈，那麽這些鏈會相互構成若幹個環，如果我們走了一條鏈，然後讓這條鏈異或這些環，就可以得到對應的另一條鏈！（可以自己畫圖分析一下，博主太懶不想畫圖_(:з」∠)_）

　　綜合一下上面的性質，我們就能得到一種算法：進行一遍$DFS$，把所有的環構造成線性基，然後把任意一條從$1$到$n$的鏈放入線性基中求最大異或和。

　　$SO$，這道黑題就這麽過了。

　　博主手殘寫了個$namespace$，不過好像跑得還挺快。

　　Code：

//It is made by HolseLee on 3rd Sep 2018
//Luogu.org P4151
 

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<iostream>
#include<iomanip>
#include<algorithm>
using namespace std;

typedef long long ll;
const int N=5e4+7,M=2e5+7;;
int n,m,head[N],cnte;
ll dis[N],b[70];
bool vis[N];
 
struct Node {
    int to,nxt; ll val;
    
    Node() {}
    Node(int _to,ll _val,int _nxt): to(_to),val(_val),nxt(_nxt) {}
}e[M];

namespace LinerBase {
    void insert(ll x)
    {
        for(int i=63; i>=0; --i) {
            if( !(x>>i) ) continue;
            if( !b[i] ) {
                b[i]=x; break;
            } else {
                x^=b[i];
            }
        }
    }

    ll quary(ll x)
    {
        ll ret=x;
        for(int i=63; i>=0; --i) {
            if( (ret^b[i])>ret ) ret^=b[i];
        }
        return ret;
    }
}

inline ll read()
{
    char ch=getchar(); ll num=0; bool flag=false;
    while( ch<‘0‘ || ch>‘9‘ ) {
        if( ch==‘-‘ ) flag=true;
        ch=getchar();
    }
    while( ch>=‘0‘ && ch<=‘9‘ ) {
        num=num*10+ch-‘0‘;
        ch=getchar();
    }
    return flag ? -num : num;
}

inline void add(int x,int y,ll z)
{
    e[++cnte]=Node(y,z,head[x]);
    head[x]=cnte;
}

void dfs(int x,ll now)
{
    dis[x]=now, vis[x]=true;
    for(int i=head[x]; i; i=e[i].nxt) {
        if(!vis[e[i].to]) dfs(e[i].to,now^e[i].val);
        else LinerBase::insert(now^e[i].val^dis[e[i].to]);
    }
}

int main()
{
    n=read(); m=read();
    int x,y;ll z;
    for(int i=1; i<=m; ++i) {
        x=read(), y=read(), z=read();
        add(x,y,z); add(y,x,z);
    }
    dfs(1,0);
    printf("%lld\n",LinerBase::quary(dis[n]));
    return 0;
}

洛谷P4151 [WC2011] 最大XOR和路徑 [線性基，DFS]