說到神經網絡，大家看到這個圖應該不陌生：

這是典型的三層神經網絡的基本構成，Layer L1是輸入層，Layer L2是隱含層，Layer L3是隱含層，我們現在手裏有一堆數據{x1,x2,x3,…,xn},輸出也是一堆數據{y1,y2,y3,…,yn},現在要他們在隱含層做某種變換，讓你把數據灌進去後得到你期望的輸出。如果你希望你的輸出和原始輸入一樣，那麽就是最常見的自編碼模型（Auto-Encoder）。可能有人會問，為什麽要輸入輸出都一樣呢？有什麽用啊？其實應用挺廣的，在圖像識別，文本分類等等都會用到。如果你的輸出和原始輸入不一樣，那麽就是很常見的人工神經網絡了，相當於讓原始數據通過一個映射來得到我們想要的輸出數據，也就是我們今天要講的話題。

　　本文直接舉一個例子，帶入數值演示反向傳播法的過程，其實也很簡單，感興趣的同學可以自己推導下試試：）（註：本文假設你已經懂得基本的神經網絡構成，如果完全不懂，可以參考Poll寫的筆記：[Mechine Learning & Algorithm] 神經網絡基礎）

　　假設，你有這樣一個網絡層：

　　第一層是輸入層，包含兩個神經元i1，i2，和截距項b1；第二層是隱含層，包含兩個神經元h1,h2和截距項b2，第三層是輸出o1,o2，每條線上標的wi是層與層之間連接的權重，激活函數我們默認為sigmoid函數。

　　現在對他們賦上初值，如下圖：

　　其中，輸入數據 i1=0.05，i2=0.10;

　　　　　輸出數據 o1=0.01,o2=0.99;

　　　　　初始權重 w1=0.15,w2=0.20,w3=0.25,w4=0.30;

　　　　　　　　　 w5=0.40,w6=0.45,w7=0.50,w8=0.55

目標：給出輸入數據i1,i2(0.05和0.10)，使輸出盡可能與原始輸出o1,o2(0.01和0.99)接近。

Step 1 前向傳播

　　1.輸入層—->隱含層：

　　計算神經元h1的輸入加權和：

神經元h1的輸出o1:(此處用到激活函數為sigmoid函數)：

同理，可計算出神經元h2的輸出o2：

　2.隱含層—->輸出層：

　　計算輸出層神經元o1和o2的值：　

這樣前向傳播的過程就結束了，我們得到輸出值為[0.75136079 , 0.772928465]，與實際值[0.01 , 0.99]相差還很遠，現在我們對誤差進行反向傳播，更新權值，重新計算輸出。

Step 2 反向傳播

1.計算總誤差

總誤差：(square error)

但是有兩個輸出，所以分別計算o1和o2的誤差，總誤差為兩者之和：

2.隱含層—->輸出層的權值更新：

以權重參數w5為例，如果我們想知道w5對整體誤差產生了多少影響，可以用整體誤差對w5求偏導求出：（鏈式法則）

下面的圖可以更直觀的看清楚誤差是怎樣反向傳播的：

現在我們來分別計算每個式子的值：

計算：

計算：

（這一步實際上就是對sigmoid函數求導，比較簡單，可以自己推導一下）

計算：

最後三者相乘：

這樣我們就計算出整體誤差E(total)對w5的偏導值。

回過頭來再看看上面的公式，我們發現：

為了表達方便，用來表示輸出層的誤差：

因此，整體誤差E(total)對w5的偏導公式可以寫成：

如果輸出層誤差計為負的話，也可以寫成：

最後我們來更新w5的值：

（其中，是學習速率，這裏我們取0.5）

同理，可更新w6,w7,w8:

3.隱含層—->隱含層的權值更新：

　 方法其實與上面說的差不多，但是有個地方需要變一下，在上文計算總誤差對w5的偏導時，是從out(o1)—->net(o1)—->w5,但是在隱含層之間的權值更新時，是out(h1)—->net(h1)—->w1,而out(h1)會接受E(o1)和E(o2)兩個地方傳來的誤差，所以這個地方兩個都要計算。

計算：

先計算：

同理，計算出：

兩者相加得到總值：

再計算：

再計算：

最後，三者相乘：

為了簡化公式，用sigma(h1)表示隱含層單元h1的誤差：

最後，更新w1的權值：

同理，額可更新w2,w3,w4的權值：

這樣誤差反向傳播法就完成了，最後我們再把更新的權值重新計算，不停地叠代，在這個例子中第一次叠代之後，總誤差E(total)由0.298371109下降至0.291027924。叠代10000次後，總誤差為0.000035085，輸出為[0.015912196,0.984065734](原輸入為[0.01,0.99]),證明效果還是不錯的。

BP算法改進

BP算法易形成局部極小而得不到全局最優，訓練次數多使得學習效率低，存在收斂速度慢等問題。

傳統的BP算法改進主要有兩類：

啟發式算法：如附加動量法，自適應算法。

數值優化算法：如共軛梯度法、牛頓叠代法等。

1,附加動量項

這是一種廣泛用於加速梯度下降法收斂的優化方法。附加動量法面臨學習率的選取的困難，進而產生收斂速度與收斂性之間的矛盾。

核心思想：在梯度下降搜索時，若當前梯度下降與之前梯度下降方向相同，則加速搜索，反之則減速搜索。

標準BP算法的參數更新項為：

?ω(t)= ηg(t)

式中，?ω(t)為第t次叠代的參數調整量，η為學習率，g(t)為第t次叠代所計算出的梯度。

添加動量項之後，基於梯度下降的參數更新為：

?ωt= ηgt+α?ωt-1

式中α被稱為動量系數，一般α∈(0,1)，α?ω(t-1)代表之前梯度下降的方向和大小信息對當前梯度下降的調整作用。

2,自適應學習率

核心思想：自適應改變學習率，使其根據環境變化增大或減小。

ηt=σ(t)η(t-1)

上式中，σ(t)為第 t 次叠代時的自適應學習速率因子。

3,引入陡度因子

核心思想：如果在調整進入平坦區後，設法壓縮神經元的凈輸入，使其輸出退出激活函數的不飽和區，就可以改變誤差函數的形狀，從而使調整脫離平坦區。

在原激活函數中引入一個陡度因子λ

  1  #coding:utf-8
  2    import random
  3    import math
  4    
  5   #
  6   #   參數解釋：
  7   #   "pd_" ：偏導的前綴
  8   #   "d_" ：導數的前綴
  9   #   "w_ho" ：隱含層到輸出層的權重系數索引
 10   #   "w_ih" ：輸入層到隱含層的權重系數的索引
 11   
 12   class NeuralNetwork:
 13       LEARNING_RATE = 0.5
 14   
 15       def __init__(self, num_inputs, num_hidden, num_outputs, hidden_layer_weights =None,hidden_layer_bias = None, output_layer_weights = None, output_layer_bias = None):
 16           self.num_inputs = num_inputs
 17  
 18           self.hidden_layer = NeuronLayer(num_hidden, hidden_layer_bias)
 19           self.output_layer = NeuronLayer(num_outputs, output_layer_bias)
 20   
 21           self.init_weights_from_inputs_to_hidden_layer_neurons(hidden_layer_weights)
 22           self.init_weights_from_hidden_layer_neurons_to_output_layer_neurons(output_layer_weights)
 23   
 24       def init_weights_from_inputs_to_hidden_layer_neurons(self, hidden_layer_weights):
 25           weight_num = 0
 26           for h in range(len(self.hidden_layer.neurons)):
 27               for i in range(self.num_inputs):
 28                   if not hidden_layer_weights:
 29                       self.hidden_layer.neurons[h].weights.append(random.random())
 30                   else:
 31                       self.hidden_layer.neurons[h].weights.append(hidden_layer_weights[weight_num])
 32                   weight_num += 1
 33   
 34       def init_weights_from_hidden_layer_neurons_to_output_layer_neurons(self, output_layer_weights):
 35           weight_num = 0
 36           for o in range(len(self.output_layer.neurons)):
 37               for h in range(len(self.hidden_layer.neurons)):
 38                   if not output_layer_weights:
 39                       self.output_layer.neurons[o].weights.append(random.random())
 40                   else:
 41                       self.output_layer.neurons[o].weights.append(output_layer_weights[weight_num])
 42                   weight_num += 1
 43   
 44       def inspect(self):
 45           print(‘------‘)
 46           print(‘* Inputs: {}‘.format(self.num_inputs))
 47           print(‘------‘)
 48           print(‘Hidden Layer‘)
 49           self.hidden_layer.inspect()
 50           print(‘------‘)
 51           print(‘* Output Layer‘)
 52           self.output_layer.inspect()
 53           print(‘------‘)
 54   
 55       def feed_forward(self, inputs):
 56           hidden_layer_outputs = self.hidden_layer.feed_forward(inputs)
 57           return self.output_layer.feed_forward(hidden_layer_outputs)
 58  
 59       def train(self, training_inputs, training_outputs):
 60           self.feed_forward(training_inputs)
 61   
 62           # 1. 輸出神經元的值
 63           pd_errors_wrt_output_neuron_total_net_input = [0] * len(self.output_layer.neurons)
 64           for o in range(len(self.output_layer.neurons)):
 65   
 66               # ?E/?z?
 67               pd_errors_wrt_output_neuron_total_net_input[o] = self.output_layer.neurons[o].calculate_pd_error_wrt_total_net_input(training_outputs[o])
 68   
 69           # 2. 隱含層神經元的值
 70           pd_errors_wrt_hidden_neuron_total_net_input = [0] * len(self.hidden_layer.neurons)
 71         for h in range(len(self.hidden_layer.neurons)):
 72   
 73               # dE/dy? = Σ ?E/?z? * ?z/?y? = Σ ?E/?z? * w??
 74               d_error_wrt_hidden_neuron_output = 0
 75               for o in range(len(self.output_layer.neurons)):
 76                   d_error_wrt_hidden_neuron_output += pd_errors_wrt_output_neuron_total_net_input[o] * self.output_layer.neurons[o].weights[h]
 77   
 78               # ?E/?z? = dE/dy? * ?z?/?
 79               pd_errors_wrt_hidden_neuron_total_net_input[h] = d_error_wrt_hidden_neuron_output * self.hidden_layer.neurons[h].calculate_pd_total_net_input_wrt_input()
 80   
 81           # 3. 更新輸出層權重系數
 82          for o in range(len(self.output_layer.neurons)):
 83              for w_ho in range(len(self.output_layer.neurons[o].weights)):
 84   
 85                   # ?E?/?w?? = ?E/?z? * ?z?/?w??
 86                   pd_error_wrt_weight = pd_errors_wrt_output_neuron_total_net_input[o] * self.output_layer.neurons[o].calculate_pd_total_net_input_wrt_weight(w_ho)
 87  
 88                   # Δw = α * ?E?/?w?
 89                   self.output_layer.neurons[o].weights[w_ho] -= self.LEARNING_RATE * pd_error_wrt_weight
 90  
 91          # 4. 更新隱含層的權重系數
 92           for h in range(len(self.hidden_layer.neurons)):
 93               for w_ih in range(len(self.hidden_layer.neurons[h].weights)):
 94   
 95                   # ?E?/?w? = ?E/?z? * ?z?/?w?
 96                   pd_error_wrt_weight = pd_errors_wrt_hidden_neuron_total_net_input[h] * self.hidden_layer.neurons[h].calculate_pd_total_net_input_wrt_weight(w_ih)
 97   
 98                   # Δw = α * ?E?/?w?
 99                   self.hidden_layer.neurons[h].weights[w_ih] -= self.LEARNING_RATE * pd_error_wrt_weight
100  
101      def calculate_total_error(self, training_sets):
102          total_error = 0
103          for t in range(len(training_sets)):
104              training_inputs, training_outputs = training_sets[t]
105              self.feed_forward(training_inputs)
106              for o in range(len(training_outputs)):
107                  total_error += self.output_layer.neurons[o].calculate_error(training_outputs[o])
108          return total_error
109  
110  class NeuronLayer:
111      def __init__(self, num_neurons, bias):
112  
113          # 同一層的神經元共享一個截距項b
114          self.bias = bias if bias else random.random()
115  
116          self.neurons = []
117          for i in range(num_neurons):
118              self.neurons.append(Neuron(self.bias))
119  
120      def inspect(self):
121          print(‘Neurons:‘, len(self.neurons))
122          for n in range(len(self.neurons)):
123              print(‘ Neuron‘, n)
124              for w in range(len(self.neurons[n].weights)):
125                  print(‘  Weight:‘, self.neurons[n].weights[w])
126              print(‘  Bias:‘, self.bias)
127  
128      def feed_forward(self, inputs):
129          outputs = []
130          for neuron in self.neurons:
131              outputs.append(neuron.calculate_output(inputs))
132          return outputs
133  
134      def get_outputs(self):
135          outputs = []
136          for neuron in self.neurons:
137              outputs.append(neuron.output)
138          return outputs
139  
140  class Neuron:
141      def __init__(self, bias):
142          self.bias = bias
143          self.weights = []
144  
145      def calculate_output(self, inputs):
146          self.inputs = inputs
147          self.output = self.squash(self.calculate_total_net_input())
148         return self.output
149  
150      def calculate_total_net_input(self):
151          total = 0
152          for i in range(len(self.inputs)):
153              total += self.inputs[i] * self.weights[i]
154          return total + self.bias
155  
156      # 激活函數sigmoid
157      def squash(self, total_net_input):
158          return 1 / (1 + math.exp(-total_net_input))
159  
160  
161      def calculate_pd_error_wrt_total_net_input(self, target_output):
162          return self.calculate_pd_error_wrt_output(target_output) * self.calculate_pd_total_net_input_wrt_input();
163  
164      # 每一個神經元的誤差是由平方差公式計算的
165      def calculate_error(self, target_output):
166          return 0.5 * (target_output - self.output) ** 2
167  
168      
169      def calculate_pd_error_wrt_output(self, target_output):
170          return -(target_output - self.output)
171  
172      
173      def calculate_pd_total_net_input_wrt_input(self):
174          return self.output * (1 - self.output)
175  
176  
177      def calculate_pd_total_net_input_wrt_weight(self, index):
178          return self.inputs[index]
179  
180  
181  # 文中的例子:
182  
183 nn = NeuralNetwork(2, 2, 2, hidden_layer_weights=[0.15, 0.2, 0.25, 0.3],hidden_layer_bias=0.35, output_layer_weights=[0.4, 0.45, 0.5, 0.55],output_layer_bias=0.6)
184   for i in range(10000):
185      nn.train([0.05, 0.1], [0.01, 0.09])
186      print(i, round(nn.calculate_total_error([[[0.05, 0.1], [0.01, 0.09]]]), 9))
187  
188  #另外一個例子，可以把上面的例子註釋掉再運行一下:
189  
190  # training_sets = [
191  #     [[0, 0], [0]],
192  #     [[0, 1], [1]],
193  #     [[1, 0], [1]],
194  #     [[1, 1], [0]]
195  # ]
196  
197  # nn = NeuralNetwork(len(training_sets[0][0]), 5, len(training_sets[0][1]))
198  # for i in range(10000):
199  #     training_inputs, training_outputs = random.choice(training_sets)
200  #     nn.train(training_inputs, training_outputs)
201  #     print(i, nn.calculate_total_error(training_sets))

BP算法詳解