歐幾里得演算法

　　歐幾里得演算法（也稱輾轉相除法）是目前已知求最大公約數的最快通用演算法，具有程式碼複雜度低、易理解、用途廣等諸多優點，也是OI中不可或缺的的一種演算法。（當然更相減損術也是）

　　若有兩個數a和b，需要求a和b的最大公約數，怎麼辦？

　　列舉它們的因子？ 小資料可以，大資料的話，這個O（n）的演算法就圖森破了。

　　分解質因數？在大數面前也是拿衣服的。

　　總不能不搞吧，上帝喊了一聲“效率”，於是我們便有了O（log n）效率極高的歐幾里得演算法。

引理

　　歐幾里得有個非常強的定理，即gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)，讓我們來證明一下

　　約定：mod <=> 取餘，gcd <=> 最大公約數，| <=> 整除

　　假設a、b的公約數為k，a = bx + y

　　則 k | a，k | b，a mod b=y

　　因為 k | b，所以 k |bx，又因為 k | a，所以 k | (a - bx)，即 k | y

　　而a mod b = y，所以 k | a mod b

　　再假設b、a mod b的公約數為kk，同理得 kk | a，所以（a，b）和（b，a mod b）的公約數是相同的，所以它們的最大公約數也是相同的.

　　所以gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)

時間複雜度（討論情況為a>=b）

　　a mod b必然是小於a/2的，而上一次的b會變成下一次的a，上一次的a mod b會變成下一次的b，最壞情況也就是b在a/2附近，即a mod b在a/2附近。在最壞情況時每次的值也會減少一半，所以說時間複雜度是O（log n）的。（實際中往往會更低）

演算法實現

　　有了以上的引理演算法實現就非常簡單了，遞迴和非遞迴形式都可以。任何數與0的最大公約數是它本身，所以一直操作直到b = 0時的a就是原a，b的最大公約數了。

　　虛擬碼：

while(b){
	r=a%b;
	a=b;
	b=r;
}
//最終的a即為原a,b最大公約數
 

擴充套件歐幾里得演算法

　　擴充套件歐幾里得演算法的功能就更強大了，它可以用來求二元一次方程的通解，還可以用來求乘法逆元。

　　在此順便簡介一下乘法逆元：

　　若有 a*x ≡ 1 （mod m），則稱 x 為a關於m的乘法逆元，等價式 a * x+m * y = 1  (y=a*x/m)

　　這就也是個二元一次方程了，ExGcd可搞。

引理

　　裴蜀定理：若ax+by = z，則 gcd（a，b）| z

　　再順手證明一下裴蜀定理：

　　設k = gcd（a，b），則 k | a， k | b，根據整除的性質，有 k | （ax+by）

　　設 s為ax+by的最小正數值

　　再設 q = [a / s]（a整除s的值）；r = a mod s = a-q（ax+by） = a（1 - qx）+b（-qy）；

　　由此可見r也為a，b的線性組合；（ax+by稱為a，b的線性組合）

　　又因為s為a，b的線性組合的最小正數值，0<= r < s，所以r的值為0，即 a mod s = r =0；s | a；

　　同理可得 s | b，則 s | k；

　　又因為 k | （ax+by），s為ax+by的最小正數值，所以 k | s；

　　因為 s | k，k | s，所以s = k；

　　原命題得證。

如何求解（以下討論a>b）

　　顯然當 b=0，gcd（a，b）=a。此時 x=1，y=0；

　　當a>b>0 時

　　設 ax1+ by1= gcd（a，b）；

　　bx2+ （a mod b）y2= gcd（b，a mod b）；

　　根據歐幾里德原理有 gcd（a，b） = gcd（b，a mod b）；

　　則：ax1+ by1= bx2+ （a mod b）y2；

　　即：ax1+ by1= bx2+ （a - [a / b] * b）y2 = ay2+ bx2- [a / b] * by2；

（a mod b = a - [a / b]*b；[a / b]代表a整除b）

　　也就是ax1+ by1 = ay2 + b（x2- [a / b] *y2）；

　　根據恆等定理得：x1=y2；y1=x2- [a / b] *y2；

　　這樣我們就得到了求解 x1，y1 的方法：x1，y1 的值基於 x2，y2

　　由引理我們知道：ax+by = z，z為gcd（a，b）若干倍。

　　所以我們先求解ax+by = gcd（a，b），再將求出的解乘以 z/gcd（a，b）就好了。

演算法實現

　　我們依舊遞迴實現，因為上一次的x，y與下一次的x，y的值有關，所以我們從x=1，y=0（此時b=0）的情況開始遞迴上來，套公式就好了。（a，b下去，x，y上來）
     虛擬碼：

int ExGcd(int a,int b,int &x,int &y){           //x,y可設為全域性 
	if(!b){
		x=1;
		y=0;
		return a;
	}
	int r=ExGcd(b,a%b,x,y);
	t=x;
	x=y;
	y=t-a/b*y;
	return r;
}

　　本文轉載自@leader_one