寫在前面

　　這篇部落格是我在【數論】對 算術基本定理 的研究 中的一部分

• 拓展歐幾里得演算法

 　　現在已經有了a-b == GCD(a，b) * (n₁-n₂)，那就可以再來個直接點的

　　GCD(a，b) + (p*n₁+q*n₂) == GCD(a，b)

此處放到MOD群裡面可以變形為求逆元素

　　即p*a+q*b == GCD(a，b)

　　想要求出一組p，q∈Z，滿足上式

　　首先套用歐幾里得演算法的邏輯：

　　　　結合算術基本定理，有

　　　　　　GCD(a，b) == P₁^min(a1,b1)

　　　　　　a MOD b == P₁^a1-b1P₂^a2-b2......P_n^an-bn(執行的條件為a_i>=b_i)

　　　　則能得到GCD(a，b) == GCD(b，a MOD b)

　　　　那麼就有p*a+q*b == GCD(a，b) == GCD(b，a MOD b)

　　　　這樣就可以寫一個遞迴函式，一層一層MOD下去

　　　　這樣化簡，直到a_i MOD b_i == 0

　　　　即p*GCD(a，b) == GCD(a，b)，那麼在最後一層裡面p==1

所以在拓展歐幾里得裡面，bⁱ==0這一層中，aⁱ即為GCD(a，b)

　　(到此為止和歐幾里得演算法一模一樣，我甚至是複製的歐幾里得演算法)

　　而如果想要求出p和q，那麼有一個回溯的過程就好了

　　如何回溯得到p和q呢？

　　來找一下相鄰的層數間p_i和p_i+1，q_i和q_i+1的關係

　　因為有p*a+q*b == GCD(a，b)

　　則在每一層中：

　　　　GCD(a，b)

　　　　　　== p_i*a+q_i*b

　　　　　　== p_i+1*b + q_i+1*(a MOD b)

　　　　　　== p_i+1*b + q_i+1*(a - (a/b)*b)

　　　　　　== p_i+1*b + q_i+1*a - q_i+1*(a/b)*b

　　　　　　== q_i+1*a + p_i+1*b - q_i+1*(a/b)*b

　　　　　　== q_i+1*a + (p_i+1 - q_i+1*(a/b))*b

　　即每層中p_i == q_i+1，q_i == p_i+1 - q_i+1*(a/b)

　　然後就可以回溯了！

　　然後就能寫出不返回gcd，單純求出一組p，q的拓展歐幾里得了！

C++：

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 #define OUT(x) cout<<#x<<":"<<x<<endl;
 3 
 4 using namespace std;
 5 
 6 int x,y;
 7 
 8 void exgcd(int a,int b)
 9 {
10     if(!b){x=1;y=0;}
11     else{
12         exgcd(b,a%b);
13         int tmp=x;
14         x=y;y=tmp-(a/b)*y;
15     }
16 }
17 
18 int main(int argc,char *argv[],char *enc[])
19 {
20     exgcd(12,17);
21     OUT(x);OUT(y);
22     return 0;
23 }

　　上面這個版本是我寫的，比較詭異，來個常見的版本

C++：

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 #define OUT(x) cout<<#x<<":"<<x<<endl;
 3 
 4 using namespace std;
 5 
 6 int x,y;
 7 
 8 int exgcd(int a,int b)
 9 {
10     if(!b){
11         x=1;y=0;
12         return a;
13     }
14     int ret=exgcd(b,a%b);
15     int tmp=x;
16     x=y;y=tmp-(a/b)*y;
17     return ret;
18 }
19 
20 int main(int argc,char *argv[],char *enc[])
21 {
22     OUT(exgcd(12,17));
23     OUT(x);OUT(y);
24     return 0;
25 }

　　仔細感受一下其中的差別啦~