擴充套件歐幾里德演算法是用來在已知a, b求解一組x，y，使它們滿足貝祖等式： ax + by = gcd(a, b) = d（解一定存在，根據數論中的相關定理）。擴充套件歐幾里德常用在求解模線性方程及方程組中。

對於兩個不全為0的整數a、b，必存在一組解x,y，

使得ax+by==gcd(a,b)

由定理：ax+by==gcd(a,b)，若b==0，則gcd(a,0)==a。

原式變為ax+by==a   -->  x==1,y==0。

若x,y表示第一次遞迴時的值，x1,y1表示第二次遞迴時的值。

則gcd(a,b)==gcd(b,a%b)，有ax+by==b*x1+(a%b)*y1。

b*x1+(a%b)*y1==b*x1+(a-(a/b)*b)*y1==a*y1+b*(x1-(a/b)*y1)，

最終得到ax+by==a*y1+b*(x1-(a/b)*y1)

即上一深度的x等於下一深度的y1，上一深度的y等於下一深度的x1-(a/b)*y1。

對於ax+by==c，x1=x*(c/gcd(a,b)),y1=y*(c/gcd(a,b))

//如果GDC（a,b） = d,則存在x，y，使d = ax + by
//extended_euclid(a,b) = ax + by
int extended_euclid(int a, int b, int &x, int &y)
{
	int d;
	if (b == 0) { x = 1; y = 0; return a; }
	d = extended_euclid(b, a%b, y, x);
	y -= a / b*x;
	return d;
}
 

拓展歐幾里得的幾個應用

用來在已知a, b求解一組x，y使得ax+by = Gcd(a, b) =d(解一定存在，根據數論中的相關定理)。擴充套件歐幾里德常用在求解模線性方程及方程組中.