歐幾里得&　拓展歐幾里得（Euclid & Extend-Euclid）

歐幾里得演算法（Euclid）

背景：

歐幾里德演算法又稱輾轉相除法，用於計算兩個正整數a，b的最大公約數。                                                                                                                                               ——百度百科

程式碼：

遞推的程式碼是相當的簡潔：

int gcd(int a,int b) { return b == 0 ? a : gcd(b, a % b); }
 

分析：

方法說了是輾轉相除法，自然沒有什麼好介紹的了。。

Fresh肯定會覺得這樣遞迴下去會不會爆棧？實際上在這裡是不會爆棧的，因為遞迴的層數是非常小的，不信你可以隨便拿一些大數測試一下，lrj的白書和紫書上講到gcd函式的遞迴層數不超過40785lgN + 1.6723，其中N=max{a，b}。讓gcd函式遞迴層數最多的是gcd（F(n),F(n-1)），F(n)是Fibonacci數！！至於為什麼博主沒有證明，有想法的小夥伴麻煩在評論在說下下，(*^__^*) 嘻嘻……

拓展歐幾里得（Extend- Euclid）

背景：

擴充套件歐幾里德演算法是用來在已知a, b求解一組x，y [x,y都是整數]，使它們滿足貝祖等式： ax+by = gcd(a, b) =d

（解一定存在，根據數論中的相關定理）。擴充套件歐幾里德常用在求解模線性方程及方程組中。                                                                                                                                                                                                                      ——百度百科

用到的幾個歐幾里得重要結論：

1)            gcd(a,b) =  gcd(b,a %b);

2)            gcd(a,0) =  a.

程式碼：

typedef __int64 ll;
void exgcd(ll a, ll b, ll& d, ll& x, ll &y)
{
    if(!b)
    {
        d = a, x = 1, y = 0;
    }
    else
    {
        exgcd(b, a % b, d, y, x);
        y -= x * (a / b);
    }
}

分析：

設如下兩個方程：

ax+by  =  gcd(a,b)  =  d；

bx’+(a%b)y’  =  gcd(b,a%b)；

那麼由重要結論（1）有gcd(a,b)  =  gcd(b,a %b)，

那麼ax+by  =  bx’+(a%b)y’  =  bx’ +(a – [a/b]*b)y’  =  ay’ + b(x’ – [a/b]y’)，

由恆等關係有： x = y’ , y = (x’ – [a/b]y’)，[a/b]表示a/b的值向下取整。

........

那麼現在就可以用exgcd(a,b,d,x,y)表示方程ax+by = d，那麼由上面一直遞迴下去，直到 b = 0，遞迴結束，此時  d = gcd(a,0) =a , x = 1,y =0;【因為 ax+0*y = gcd(a,0)嘛~】

拓展歐幾里得的幾個應用

求解不定方程

例如：求解不定整數方程ax+by = c

求ax+by = c， 令d =gcd(a,b);

那麼(a / d ) * x + (b / d )* y = c / d

因為(a / d )、(b / d ) 、x、y都是整數，那麼保證原不定整數方程ax+by = c有解的充要條件就是c / d為整數，即c是gcd(a,b)的倍數。

如果有解，那麼令 K = c/d；

那麼，對方程aX+bY = d；假設有拓展歐幾里得求出一組解為(X0,Y0)，那麼aX0+bY0 = d；等式兩邊同時乘以K，即K*( aX0+bY0 ) = d*K = c；由恆等關係，原方程的解（x0，y0）：

 X0 = KX0 = c/d * X0，y0 = KY0 = c/d *Y0。

不定方程的通解：

       若（x0，y0）是不定整數方程ax+by = c的一組解，則他的任意整數解都可以表示成（x0+ kb’, y0-ka’），其中a’ = a/gcd(a,b), b’ = b/gcd(a,b).

例題：

求解模線性方程

方法跟上面類似，將同餘方程轉化為常規線性方程就可以了，跟上面一樣，談到同餘方程的一個解時，其實指的是一個同餘等價類....

具體內容待補充...

求模的逆元

待補充…