兩個數的生成範圍（兩個生成元）（拓展歐幾里得演算法）
最近遇到一個題，就是給兩個數，這兩個數有無限個，問你由這些數能得到哪些數。
還可以擴充套件成有n個數，問你能得到哪些數
這裡其實是有一個結論的，就是：
①兩個數互質，就可以生成很多很多數，而且從某個數開始就是連續的
②兩個數不互質，生成的數一定是gcd(a,b)的倍數，gcd（a，b）就表示兩個數的最小公倍數。
那麼顯然如果不互質，產生的數肯定沒第一種情況多的。
關於更多的結論，下面會慢慢列舉。
那麼會遇到些什麼樣的題目呢？
我們看一下
下面是一道藍橋杯的題，但是感覺出的還不錯。
小明幾乎每天早晨都會在一家包子鋪吃早餐。他發現這家包子鋪有N種蒸籠，其中第i種蒸籠恰好能放Ai個包子。每種蒸籠都有非常多籠，可以認為是無限籠。
每當有顧客想買X個包子，賣包子的大叔就會迅速選出若干籠包子來，使得這若干籠中恰好一共有X個包子。比如一共有3種蒸籠，分別能放3、4和5個包子。當顧客想買11個包子時，大叔就會選2籠3個的再加1籠5個的（也可能選出1籠3個的再加2籠4個的）。
當然有時包子大叔無論如何也湊不出顧客想買的數量。比如一共有3種蒸籠，分別能放4、5和6個包子。而顧客想買7個包子時，大叔就湊不出來了。
小明想知道一共有多少種數目是包子大叔湊不出來的。
輸入
----
第一行包含一個整數N。(1 <= N <= 100)
以下N行每行包含一個整數Ai。(1 <= Ai <= 100)
輸出
----
一個整數代表答案。如果湊不出的數目有無限多個，輸出INF。
例如，
輸入：
2
4
5
程式應該輸出：
6
再例如，
輸入：
2
4
6
程式應該輸出：
INF
樣例解釋：
對於樣例1，湊不出的數目包括：1, 2, 3, 6, 7, 11。
對於樣例2，所有奇數都湊不出來，所以有無限多個
我們看一下題解：
做法：這是擴充套件歐幾里德變形的，有個定理。 如果滿足所有數的最大公約數不為1則有無窮個， 否則都是有限個。然後利用完全揹包就可以統計了。 #include <algorithm> #include <string.h> #include <iostream> #include <stdio.h> #include <string> #include <vector> #include <queue> #include <map> #include <set> using namespace std; int gcd(int a,int b){ if(b == 0) return a; return gcd(b,a%b); } int arr[110],n; const int N = 10010; bool bk[N]; int main() { scanf("%d",&n); for(int i = 0 ; i < n ; i ++) scanf("%d",&arr[i]); int g = arr[0]; for(int i = 1 ; i < n ; i ++) g = gcd(g,arr[i]); if(g != 1) { printf("INF\n"); }else{ bk[0] = true; for(int i = 0 ; i < n ; i ++) { for(int j = 0 ; j + arr[i] < N ; j ++) if(bk[j])bk[j+arr[i]]= true; } int count = 0; for(int i = N-1 ; i >= 0 ; i --){ if(bk[i] == false) count++; } printf("%d\n",count); } return 0; }
對於程式碼裡面完全揹包的那裡，我想解釋一下，
n就是表示蒸籠的種類數，N是最大體積，也就相當於有1-n號物品，它們的體積不一樣，有無限個，問你能湊出哪些體積，
那麼我們就兩層for迴圈就能解決問題了。
順便說一下，通過上面的揹包解法，我發現了個小規律，兩個數互質的情況下，最後一個湊不出的數為 a*b-（a+b）
我們看看截圖：
3 和5最後一個湊不出來的數為7， 從7後面的數都可以湊出來，而 7=3*5-（3+5）
我們再看一個
4和7最後一個湊不出來的數為 17 而 17=（4*7）-（4+7）
但是，其實這個小結論還沒用過，嘻嘻，所以也不用記了，到時候打表找找規律吧。
然後，做到後來，才發現此類體型是拓展歐幾里得的題目
先看看拓展歐幾里得的模板
ll x,y;
ll exGcd(int a,int b)
{
if(b==0)
{
x = 1;
y = 0;
return a;
}
ll ans = exGcd(b,a%b);
ll t = x; x = y;
y = t-a/b*y;
return ans;
}那麼這個函式是幹啥的呢，他是用來求不定方程的解的
exGcd這個函式範圍的是a和b的gcd，但是x，和y才是最重要的，x，y是全域性變數，表示方程ax+by=gcd（a，b）的解
那麼有人可能會問，只能解這一個方程，用它幹嘛，其實並不是，我們通過兩邊同乘以某個數，就可以得到任意方程的解。
唯一的限制條件是：所有的數必須是整數。
那麼我們來看看：
exgcd 解不定方程
對於 ax+by=c 的不定方程，設 r=gcd(a,b)
當 c%r!=0 時無整數解
當 c%r=0 時，將方程右邊 *r/c 後轉換為 ax+by=r 的形式
可以根據擴充套件歐幾里得演算法求得一組整數解 x0 , y0
而這只是轉換後的方程的解，原方程的一組解應再 *c/r 轉變回去
（如 2x+4y=4 轉換為 2x+4y=2 後應再將解得的 x , y 乘上2）
則原方程解為 x1=x0*c/r , y1=x0*c/r （乘以c/r）
通解 x=x1+b/r*t , y=y1-a/r*t ，其中 t 為整數
注意，y的通解是減號---
那麼我們就直接看題：
ZOJ 3593
There is an interesting and simple one person game. Suppose there is a number axis under your feet. You are at point A at first and your aim is point B. There are 6 kinds of operations you can perform in one step. That is to go left or right by a,b and c, here c always equals to a+b.
You must arrive B as soon as possible. Please calculate the minimum number of steps.
Input
There are multiple test cases. The first line of input is an integer T(0 < T ≤ 1000) indicates the number of test cases. Then T test cases follow. Each test case is represented by a line containing four integers 4 integers A, B, a and b, separated by spaces. (-231 ≤ A, B < 231, 0 < a, b < 231)
Output
For each test case, output the minimum number of steps. If it's impossible to reach point B, output "-1" instead.
Sample Input
2
0 1 1 2
0 1 2 4
Sample Output
1
-1題意：
你要從一個起點走到一個終點，每一步你有三種走法，走a步，走b步，走a+b步，可以往左也可往右。
可以想象成是一個一維的座標系，求最小的步數到終點，如果不能到，輸出-1。
那麼經過一番思考，終於發現，只要解一個方程就行了。
a*x+b*y=c
其中c=B-A，也就是，c為終點和起點的距離
那麼解這個方程固然好解，直接套拓展歐幾里得模板，但是和最小步數的關係，又有一番推導了。
當時WA的我差點看了題解，不過還好，在絕望之際AC，終於又沒看題解完完全全做出一道題。
下面開始分析：
Come on，let's do it !
首先呢，我們得知道x和y的通解公式，是 x =x0 + b/g*t , y =y0 - a/g*t （其中t為整數，x0,y0是方程的一組解，也就是呼叫exgcd函式得到的x，y），不知道的自己記到小本本上吧，沒什麼好講的。
①那麼x，y的值 和 最小步數有什麼關係呢？
我們舉幾個例子慢慢發覺關係
當x = 3時，y = 4 時，表示 走3步a，走4步b，就能到達終點了。
但是既然可以一步走a+b，為啥要重複走a，b呢，所以我們選擇走3步a+b，1步b。
再如，x = -3，y=-4時，同樣，我們走4步就可以了，之前的3可以合併
（注意，x和y是可以為負的）
那麼我們可以初步斷定，最小步數就是 x和y的最大值，或者絕對值的最大值（因為有可能為負）
但是x 為正，y為負，那咋搞
其實是x-y啦。
我想說的意思是，我們應該考慮x和y的正負號問題，我沒有那麼好的總結能力，不能一步覆蓋四種情況，只好分情況列舉，感覺也不麻煩。
但是又有問題
②通解那麼多，我們不可能列舉
我們再來看看
x 是關於t的一個方程，我們可以用直線表示出來，x與t是成正相關關係的，所以我們畫一個圖，順便再把y與t的關係畫出來
好了，有了上面的圖，我們可以更直觀的看答案。
為什麼我畫的兩條直線斜率一定相反呢，因為y的通項公式中是 y0-k*t，所以兩條直線一定相交，一定是一個向上走，一個向下走。
那麼仔細看圖我們發現，在p點處的答案是最優的，兩個都是正的，而且兩者的最大值也很小。
那麼，是不是對於所以的圖，都是交點附近答案最優呢，原來真的是的。
在交點的附近，x和y幾乎是相同的，所以一步就能走很多，a+b，我們讓x和y重複的越多，總步數就越少。
至於為什麼，同學們可以多畫幾個圖，交點在不同象限。
那麼由於交點不一定是整數，所以我們列舉交點前一個點和後一個點，這樣就能覆蓋了。
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<queue>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<set>
#include<string>
#include<map>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<time.h>
#define fori(l,r) for( int i = l ; i <= r ; i++ )
#define forj(l,r) for( int j = l ; j <= r ; j++ )
#define fork(l,r) for( int k = l ; k <= r ; k++ )
#define mem(a,val) memset(a,val,sizeof a)
#define lef rt<<1
#define rig rt<<1|1
#define mid (l+r)>>1
#define inf 0x3f3f3f3f
#define llinf 0x3f3f3f3f3f3f3f3f
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 1e4+4;
ll x,y;
ll exgcd( ll a,ll b )
{
if( b == 0 )
{
x = 1;
y = 0;
return a; //返回gcd（a，b）
}
ll ans = exgcd(b,a%b);
ll t = x; x = y;
y = t-a/b*y;
return ans;
}
int main()
{
ll A,B,a,b,c,g;
int T;
scanf("%d",&T);
while( T-- )
{
cin>>A>>B>>a>>b;
c = B-A;
g = exgcd(a,b);
if( c%g != 0 )
{
puts("-1");
continue;
}
x = c/g*x,y = c/g*y;
ll t = (y-x)*g/(a+b);
ll ans = llinf;
for( ll i = t-1 ; i <= t+1 ; i++ )
{
ll xx = x+b/g*i;
ll yy = y-a/g*i;
if( xx >= 0 && yy >= 0 )
ans = min(ans,max(xx,yy) );
else if( xx >= 0 && yy < 0 )
ans = min(ans,xx-yy);
else if( xx < 0 && yy >= 0 )
ans = min(ans,yy-xx);
else if( xx < 0 && yy < 0 )
ans = min(ans,max(abs(xx),abs(yy)) );
}
cout<<ans<<endl;
}
return 0;
}
/*
//freopen("E:\\problem list\\codeblocks\\A\\input.txt","r",stdin);
//freopen("E:\\problem list\\codeblocks\\A\\standardoutput.txt","w",stdout);
12312
0 7 1 2
*/