1. 何為遞迴？

遞迴在我們的生活中其實很常見。假設你去電影院看電影，黑漆漆一片，你不知道自己來到了第幾排，於是你問前面的人他是第幾排，知道了前面的人是第幾排，加一也就是你所在的排數。但前面的人也不知道，於是他也繼續向前問，直到第一排的人回答他在第一排，然後再依次往後傳，最後你就知道了你現在位於第幾排。

• 遞迴可以分為兩個過程，向前一直推進直到找到一個確定的解答為“遞”，倒推回來得到你想要的答案為“歸”。可以形象地概括為往前”遞“，往後”歸“。

2. 遞迴滿足的條件？

• 一個問題的解可以分解為幾個子問題的解。開篇的例子中，‘”自己在第幾排的問題“可以分解為“前面的人在第幾排”的子問題。

• 問題和分解後的子問題，除了資料規模不一樣，求解思路完全一樣。

• 存在遞迴終止條件。不能無限制地“遞”下去，第一排的人知道答案後就要“歸”回來。

3. 實現遞迴的關鍵？

• 基線條件(base case)，停止呼叫

• 遞迴條件(recursive case)， 自己呼叫自己

• 實現遞迴的關鍵就在於找到基線條件和遞迴條件。遞迴條件就是分解子問題的過程，基線條件就是找到遞迴終止的情況。

• 不要試圖去弄清楚遞迴的詳細過程，解決問題的時候要把重點放在，假設子問題已經得到解決的情況下，我們該如何求解。

4. 遞迴的注意事項？

• 重複計算。斐波那契數列，F(0)=0，F(1)=1，F(n)=F(n-1)+F(n-2)。其計算過程如下所示，我們可以直觀地看到有一些值被計算了很多次。
  

針對這種情況，我們可以通過定義一個數據結構（比如散列表）來儲存已經求解過的值，當遞迴呼叫時，我們先檢視當前值是否被計算過，如果是，則直接從散列表中取值返回，來避免重複計算。

• 堆疊溢位。遞迴需要多次的函式呼叫，而函式呼叫需要棧來儲存臨時變數，因此，當遞迴呼叫的次數非常多時，佔用記憶體很高，就會有堆疊溢位的風險。相應的，其計算時間也可能超出想象的大。

我們可以用尾遞迴來確保最後一步只調用函式自身，優化堆疊使用。以求 5 的階乘為例，尾遞迴的呼叫過程如下所示，fact_tail(5, 1) > fact_tail(4, 5) > fact_tail(3, 20) > fact_tail(2, 60) > fact_tail(1, 120)，四次遞迴呼叫後直接返回結果。

int fact_tail(int n, int a)
{
    /*Compute a factorialina tail - recursive manner.*/
     
    if (n < 0)
        return 0;    
    else if (n == 0)
        return 1;    
    else if (n == 1)
        return a;
    else
        return facttail(n - 1, n * a);
 
}

5. 遞迴與迴圈？

• 籠統地講，所有遞迴程式碼都可以改為迭代迴圈的方式實現。

• 遞迴程式碼寫起來非常簡潔，程式可能更容易理解；但空間複雜度高、有堆疊溢位風險、時間成本較高。

• 改用迴圈，則可以減少函式呼叫，程式的效能可能更高，如何選擇要看什麼對你來說更重要。

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