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一、列舉法

二、解不定方程法

三、逐級滿足法

四、化為相同除數的同餘式法、

五、才用到典經的、不同除數的同餘式組解法

    現將陳景潤所著《初等數論Ⅰ》中的一個習題為例，用五種方法解算，可以對比。

試解下列同餘方程

X≡2  (mod  7 )

 X≡5  (mod  9 )

X≡1  (mod  5 )     

 求X

 

                                      一 列舉法

 

X≡2  (mod  7 )           X÷7=A…2        X=7A+2

X≡5  (mod  9 )   相當於  X÷9=B…5   →   X=9B+5

X≡1  (mod  5 )           X÷5=C…1        X=5C+1

    列舉法就是按A=0、1、2、3、4…    B=0、1、2、3、4…   C=0、1、2、3、4…

代入各式，計算各式的X，當三個X相同時，就是一個解。

   A、B、C    0    1    2    3    4 …  9    10    11    12 …   16   17   18… 

   X_A          2    9    16   23   30…  65   72    79    86…    

     X_B        5   14    23   32   41 … 86 …

       X_C      1    6    11   16   21 … 46   51    56    61 …    81   86  … 

   即，當A=12、B=9、C=17時，X 都等於86。所以最小 X=86。由於7、9、5的最小公倍數是315，所以，通解   X=86+315K  (K=0、1、2、3、…)

    列舉法就是湊，很‘笨’，但也最直觀。適合小學生學習。也可用電子表格計算，那太快捷了。

 

                                       二 解不定方程法

X=7A+2

X=9B+5     →9B+5=7A+2    →9B=7A+2-5=7A-3    →B=(7A-3)/9

X=5C+1     →5C+1=7A+2   →5C=7A+2-1=7A+1    →C=(7A+1)/5

    由B=(7A-3)/9，算得：當A=3時，B=2，但A=3時，C=(7A+)/5=4.4。由於A、B、C只能是整數。所以 3、2、4.4這一組，不符合要求，要重算A。又由於B=(7A-3)/9的分母是9，所以下一個A，只能在3的基礎上，增加一個9的倍數，所以A只能取12、21、30、39…有了A，再算B、C，當A、B、C全是整數時，才合格。結果如下：

A       B        C

3       2        4.4

12      9       17

21     16       29.6

…

可見，只能取A=12 、B=9  、C=17 ， 代入原式：

X=7A+2=7*12+2=86

X=9B+5=9*9+5=86

X=5C+1=5*17+1=86

得 X=86、通解為X=86+315K得X=86、通解為X=86+315K。實際上，這仍然是列舉法，只是列舉個數減少一些而已。

 三  逐級滿足法

 

這個方法的基本思路是：先解算出合符第一個方程的X₁。再解算出合符第一、第二個方程的X₂，令X2=X₁+P₁。關鍵是P₁要保持第一個方程中的倍數要求，又要合符第二個方程中的剩餘要求。再解算出合符第一、第二、第三個方程的X₃，令X₃=X₂+P₂，關鍵是P₂要保持第一第二兩個方程中的倍數要求，又要合符第三個方程中的剩餘要求。這樣逐級解算，滿足全部條件。

P要同時考慮兩個方程的倍數關係如7A、9B，又要考慮兩個餘數關係，如餘2、餘5，方程數一多，處理時要拐幾個彎，方法不易理解。

最近，我在作《數論—餘數習題集》時，對“逐級滿足法”作了改進。把第一個方程的通解，直接作為第二個方程的初值，不作任何轉彎，就同時解決了兩個方程之間的相關關係及餘數關係，變得容易理解，容易操作、便於列式。這可以說是我的又一個心得罷。

仍按原例： X除以7餘2、除以9餘5、除以5餘1，求最小X。

答：最小X=86  通解 X =86 ＋315 N ( N=1、2、3 … )

 已知：

X≡2  (mod  7 )           X÷7=A…2         X=7A＋2

X≡5  (mod  9 )   相當於  X÷9=B…5   →    X=9B＋5

X≡1  (mod  5 )           X÷5=C…1         X=5C＋1

A、B、C都是整數，可用K統一表示，且不論其具體數值。

解算步驟：

1、 先解第一個方程X÷7餘2的通解X1。一般都很容易，即：

通解X1＝餘數＋除數的倍數，例中X1=2＋7A 。其中餘數就是最小解X0=2，加上7的最小公倍數的A倍，就是通解X1=2＋7A 。

X1是一個數列，其中總有一個數能滿足所有方程，關鍵在於A是多少，又怎樣定？A怎樣定呢？現在不能定。因為要考慮到它能滿足第二個方程，所以到那時才能定下來。

 

2、第二個方程。X÷9餘5，此時的X首先應滿足本方程要求： (X－5)÷9 = K  (K是整數)。但同時又要滿足第一個方程，既然X1可以滿足所有方程，所以就乾脆用第一方程的通解X1代替第二方程的未知數X ，即用(X1)取代X。即應滿足 (X1－5)÷9 = K，才顧及了兩式。

注意，(X1－5)÷9 =K這種形式的方程，是有規律的，即：

(第一方程的通解X1（=2＋7A ） 減  第二方程的餘數5 )÷第二方程的除數9＝整數K，

且以下各方程也都是這樣的規律，亦即：

( 上一個方程的通解 減 本方程的餘數 )÷本方程的除數 應 ＝ 整數K

現在有了 (2＋7A－5)÷9 =K ，就整理為(7A－3)÷9 = K。這時兩個餘數就自動合併了。

       解此 (7A－3)÷9 = K方程，便得A=3 、 K＝2。

於是  X1=2＋7A=2＋7×3=23。此時，就把X1＝23作為第二個方程的最小解，轉為X2，即X2＝23。再加上7與9的最小公倍數7×9=63的倍數，得通解X2＝23＋63M。這個X2，既滿足第一個方程又滿足第二個方程。

X2也是一個數列，其中總有一個數，能滿足所有方程，所以就是下一個方程的未知數初值了。關鍵在於M是多少。M怎樣定呢？現在不能定。要考慮到它能滿足第三個方程。到那時才能定下來。

至此，得到一個同餘式  X2≡23  (mod  63 )，實際上它是

X≡2  (mod  7 )         

X≡5  (mod  9 )   二個同餘式的共同解。

 

至於用什麼方法來解  (7A－3)÷9 = K  這個二元一次不定方程呢？(7A－3)÷9 = K也就是7A－9K = 3，在陳景潤所著《初等數論Ⅰ》中，有一個手算方法，先用“輾轉相除法”得到各次餘數，直到餘數為“ 1 ”，再反求出滿足餘數“ 1 ”時的X、K的新系數，再通過“同餘式”的轉換，轉換成己知餘數(如本例的3)，才得到最終的X的係數A。整個過程步驟多。反求X、K的新系數時、轉換成己知餘數時，都頗費工夫，我見了生畏。還不如老老實實的試算、湊數。

(7A－3)÷9 = K   求A與K的整數解，

         列表湊罷：

A     7A     (7A－3)     K＝ (7A－3)÷9

           0      0       －3         － 0.33

           1      7         4            0.44                 

           3     21        18            2        好了，K是整數了

           4     … … 不必算了。

得A＝3、K＝2 。其實K僅起檢驗作用，是整數就行了，沒有其他用處。

解二元一次不定方程最好的方法，當然是編個電腦程式。我已經編就了，請用吧

3、第三個方程。X÷5餘1，此時X首先應滿足本方程要求： (X－1)÷5 = K，又要滿足第一、第二個方程。既然X2可以滿足所有方程，所以就乾脆用第二方程的通解X2代替第三方程的未知數X  ，即用(X2)取代X。即應滿足：

(X2－1)÷5 = (23＋63M －1)÷5=K，→ (63M＋22)÷5 = K。才顧及了三個方程。

解此二元不定方程 M=1 、 K＝17。把M代入X2，

於是  X2=23＋63M=23＋63×1=86，就把X2＝86作為第三個方程的最小解，轉為X3

即X3＝86。再加上63與5的最小公倍數63×5=315的倍數，得通解

X3＝86＋315P。(P=1、2、3 … )

驗算  86÷7 =12   … 2

       86÷9 = 9   … 5

86÷5=17   … 1

*   *   *   *   *

“逐級滿足法”解法有規律了，容易操作了。但也有兩點麻煩：

1、組成形如 (AX±B)÷C＝K的不定方程，要一個個順序進行，雖有規律，但還是比較麻煩。

2、解算(AX±B)÷C＝K方程，求待定量X、K，無論用手算，或是電子表格算，要解(N－1)次。也很煩人，特別是大數相除更麻煩。

為了加快計算，我編了一個VB程式，不用煩心，輸入完資料，↙，就出結果了。

上述算題：

輸入方程個數N = 3  

輸入各方程的除數與餘數  7   2   9   5   5   1  ↙

結果為：

通解 X =86＋ 315 N ( N=1、2、3 … )

 

還有一例：我曾靠電子表格算了一天，才得結果的，現在包括輸入在內，僅15秒就搞定。

輸入方程個數N = 6  

輸入各方程的除數與餘數  3  2  5  3  7  2  11  9  13  7  4  3  ↙

結果為：

通解 X =20183＋ 60060N ( N=1、2、3 … )

四 化為相同除數法

 

X≡2  (mod  7 )

X≡5  (mod  9 )

X≡1  (mod  5 )

這三個同餘式，除數不同，分別為7、9、5，為了能利用同餘式的和差特性，簡化計算，先設法使它們的除數相同，為此：

X≡2  (mod  7 )兩邊都乘9*5，得X*45≡2*45  (mod 7*45 )  →45 X≡90   (mod 315 ) …(1)

X≡5  (mod  9 ) 兩邊都乘7*5，得X*35≡5*35  (mod 9*35 )  →35 X≡175  (mod 315 ) …(2)

X≡1  (mod  5 ) 兩邊都乘7*9，得X*63≡1*63  (mod 9*63 )  →63 X≡ 63  (mod 315 ) …(3)

                           (1)＋(2)＋(3)＝ (4)  →   143 X≡328   (mod 315 ) …4)  

根據同餘式的加減性質，(1)＋(2)＋(3)得：

143 X≡328   (mod 315 )  即 143 X≡13  (mod 315 )，化為帶餘除式為：

143 X÷315=K …13  亦即   143X－13=315 K ，有(143X－13)÷315＝K(整數)

(143X－13)÷315＝K(整數)用通式表示為  (AX－B)÷S＝K

  解得  X=86、K=38  (實際上不用它，在此僅確認它是整數就行了)，

通解為    X＝86+315 N  ( N＝  1、2、3 … )

或   X≡86  (mod 315 )

 

這一種演算法，在所有五種演算法中，我認為是最簡潔、工作量最小的演算法。因為不管方程有多少個，它解算形如(AX－B)÷S=K這種不定方程，僅解一次而已。而其他方法要解多次。同時，這種演算法也容易理解，演算法單純。

 

五 典經的、“大衍求一術”解法

 

X≡R1  (mod  m₁ )     X≡2  (mod  7 )

X≡R2  (mod  m₂)      X≡5  (mod  9 )

X≡R3  (mod  m₃)      X≡1  (mod  5 )

名詞註釋及計算步驟：

1  餘數R：、R₁=2、R₂=5、R₃=1

2  模，亦即除數m：例中m₁=7、m₂=9、m₃=5

3  模的最小公倍數G：G=m₁*m₂*m₃，例中M=7*9*5=315

4  衍數（區域性公倍數）y：Y₁=m₂m₃、Y₂=m₁m₃，Y₃=m₁m₂，例中Y₁=9*5=45、Y₂=7*5=35、Y₃=7*9=63

5  乘率C：這是解算中國剩餘定理的關鍵，而計算“乘率”的方法，是秦九韶在《數書九章》一書中首次提出的，稱之為“大衍求一術”。“求一”就是使(衍數*乘率)除以模(除數)，而餘數為1。即：

衍數Y*乘率C≡1  (mod  m)，乘率C可以經過反算而得到。例中Y₁C₁≡1  (mod  7 )、

 Y₂C₂≡1  (mod  9 ) 、Y₃C₃≡1  (mod  5 )。

 

計算C₁方法。由Y₁C₁≡1  (mod  7 )， →45C₁≡1  (mod  7 )  →(45C₁－1)  /  7=整數N ，得C₁=5。因為45*5=225，225－1=224，224÷7=32，32是整數，合符要求。C₂、C₃之計算也相仿。乘率C之計算見下表：

 

同餘式 i	衍數Y	乘率C	餘1	模m	檢驗  (Y*C-1)/m  = 整數
1	45	5	1	7	(45*C-1)/7 =N   (45*5-1)/7 =  32
2	35	8	1	9	(35*C-1)/9 =N  (35*8-1)/9 =  31
3	63	2	1	5	(63*C-1)/5 =N  (63*2-1)/5 =  25

最終結果，X≡R₁Y₁C ₁+R₂Y2C₂+R₃Y₃C₃(mod G)

即X≡Σ餘數*衍數*乘率 (mod G)，見下表計算：

i	餘數R	衍數Y	乘率C	R*Y*C
1	2	45	5	450
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