演算法導論(MIT 6.006 第15講 第16講 第17講)

最短路徑的定義是什麼？

最短路徑即擁有最小權重的路徑p;
路徑定義： p=<$v_0$,$v_0$,…,

vk $v_k$$v_k$>, 其中當$0\leq i<k$時，有 ($v_i$,$v_{i+1}$) $\in$ E;
路徑的權重：w(p)=$\Sigma{^{k-1}_{i=0}}w(v_i,v_{i+1})$ ;

加上權重的數學表示方式

1. 邊存在權重的圖：G(V,E,W) ,W是一個函式，作用於邊，生成一個實數，即W(E)->R
2. 頂點到自身的路徑：($V_0$)表示從($V_0$)到($V_0$)的路徑，權重是0
3. 兩個頂點之間的最短路徑：
   $\delta(u,v)=\lbrace{^{min\lbrace w(p)\rbrace{\quad} u,v之間存在路徑}_{\infty{\qquad}u,v之前不存在路徑}}$

E與V的關係 E=O($V^2$ )。對於有向圖來講，假設有兩個頂點，v1,v2，他們之間只有4種連線情況，依次類推

為什麼會有負的權重？

比如社交網路上的喜歡可以看做是正的權重，比喜歡可以看做是負的權重

負權重的邊帶來什麼問題？

如果存在一個帶有負權重的邊，那麼每經過一個迴圈，會減少原有的權重值，這樣造成的現象是可以得到任何可以得到的權重值。比如路徑p=

最短路徑演算法的一般思路是什麼？

d(v) 表示從源點s到當前節點v的路徑權重 ,$\pi[v]$表示當前最好的路徑上，v的前一個節點 ，通過這種方式就能重構整個最短路徑

針對沒有負權重的環
1. 初始化 d[v] = $\infty$ ,$\pi[u]$=NIL,d[s]=0
2. 通過某種方式選擇邊(u,v)，執行Relax操作，去更新源點到選擇的頂點的當前路徑值，以及選擇頂點的前一個節點

Relax(u,v,w):
    select edge(u,v):
        if d[v]>d[u]+w(u,v):
            d[v]=d[u]+w(u,v)
            PI[v]=u
    until all edges have d[v] <= d[u]+w(u,v)

relax操作的過程中會不會產生一個一個比 $\delta$(s,v)還要小的值？

通過歸納法，假設有 d[u] $\geq$ $\delta$(s,u)。已知的是$\delta(s,v)$表示s到v的最短路徑，那麼任意一個到v的頂點u和源點s到u的最短路徑必定大於等於$\delta(s,v)$，也就是

$$\delta(s,v)\leq\delta(s,u)+w(u,v)$$
通過前面的假設，則必定有 $\delta(s,v)\leq d[u]+w(u,v)=d[v]$ 。這說明，中間的過程的任意一個階段產生的結果d[v]都不會比 $\delta$(s,v)還要小

最短路徑演算法的一般思路問題一：錯誤的選邊導致複雜度為指數級別

構造如下結構的圖

邊的權值按照$2^{n/2}$方式分配，圖中給出的6個點的示例，如果全部顯示的邊($v_0$,$v_2$)的權值為$2^{n/2}$,並依次遞減到1

假設源點為$v_0$,初始化選擇的路徑如下,可以得到從源點到各個點的路徑長度。

此時，Relax($v_4$,$v_6$)的邊,會更新$v_0$到$v_6$的路徑長度為13

再Relax($v_2$, v4 $$