幾道常見的動態規劃題

通常暴力窮舉的方式是一種糟糕的策略，動態規劃正是一種解決類似問題的思想，如果一個問題滿足最優子結構，就可以通過把原問題可以分解為幾個子問題來解決，即全域性的最優解一定是某個區域性的最優解，我們需要一張表來儲存前一次計算的結果，以便遞推出原問題的解，這樣可以避免重複計算。

0-1揹包

固定容量的揹包，希望能夠裝入價值最大的物品。假設 $m(i,$

• 當i=0時，表示沒有可選擇的物品，總價值為0。
• 當j=0時，表示揹包容量為0，不好裝東西，總價值為0。
• 當 $j\geq w_i$時，可以選擇放入物品i或不放入物品i，若不放入物品i，則只剩下i-1個物品可以選擇，揹包容量仍為j，若放入物品i，也只剩下i-1個物品可供選擇，揹包剩餘容量為 $j-w_i$。
• 當 $0 \leq j < w_i$時，揹包放不下物品i，只能在剩餘i-1個物品中選擇。

遞推式：
$m(i,j)=\left\{\begin{matrix} 0 & if \ i=0 \ or \ j=0 \\ \max \{m(i-1, j), m(i-1, j-w_i)+v_i\} & if \ j \geq w_i\\ m(i-1,j) & if \ 0 \leq j < w_i \end{matrix}\right.$

程式碼：

import numpy as np

def knapsack(c, w, v):
    assert len(w)==len(v)
    m = np.full((len(w) + 1, c + 1), -1)
    m[0,:] = 0  # i=0
    m[:, 0] = 0 # j=0
    for i in range(1, len(w) + 1):
        for j in range(1, c + 1):
            if w[i - 1] > j:
                m[i, j] = m[i-1, j]
            else:
                m[i, j] = max(m[i-1, j], m[i-1, j-w[i - 1]] + v[i - 1])
    print(m)
    # solution
    j = c
    x = np.full(len(w), -1)
    for i in range(len(w)):
        if m[i+1, j] == m[i, j]:
            x[i] = 0
        else:
            x[i] = 1
            j = j - w[i]
    return x

c = 10  # 揹包容量
w = [2,2,6,5,4]  # 物品容量
v = [6,3,5,4,6]  # 物品價值
s = knapsack(c, w, v)
print(s)

[[ 0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0]
 [ 0  0  6  6  6  6  6  6  6  6  6]
 [ 0  0  6  6  9  9  9  9  9  9  9]
 [ 0  0  6  6  9  9  9  9 11 11 14]
 [ 0  0  6  6  9  9  9 10 11 13 14]
 [ 0  0  6  6  9  9 12 12 15 15 15]]
[1 1 0 0 1]

可見，最大價值為15，選擇第0個、第1個以及第4個物品。

最小編輯距離

給出兩個單詞source和target，求出刪除、替換或插入某個字元使得source變為target的最少次數。
例如：source=‘intention’, target=‘execution’，最少次數為5，總共有5步。

• intention -> inention (刪除 ‘t’)
• inention -> enention (將 ‘i’ 替換為 ‘e’)
• enention -> exention (將 ‘n’ 替換為 ‘x’)
• exention -> exection (將 ‘n’ 替換為 ‘c’)
• exection -> execution (插入 ‘u’)

假設 $edit[i,j]$為source的第0到i個字元與target的第0到j個字元分別組成的字串的最小編輯距離。

• 當 $\ i=0 \ and \ j=0$ 時，兩個都為空串，距離為0。
• 當 $\ i=0 \ and \ j>0$ 時，插入j次就行，距離為j。
• 當 $\ j=0 \ and \ i>0$ 時，刪除i次就行，距離為i。
• 當 $\ i\geq 1 \ and \ j\geq1$ 時，看是否新增source的第i個字元或刪除target的第j個字元能否使得剩餘部分相同，即繼續計算 $edit[i-1,j]$或 $edit[i,j-1]$，如果新增或刪除後還不等，則需要繼續計算 $edit[i-1,j-1]$，我們取最小的情況。

遞推式：
$edit[i,j]=\left\{\begin{matrix} 0 & if \ i=0 \ and \ j=0\\ j & if \ i=0 \ and \ j>0\\ i & if \ j=0 \ and \ i>0\\ \min\{edit[i-1,j]+inscost(source_i),\\edit[i-1,j-1]+substcost(source_i,target_j),\\edit[i,j-1]+delcost(target_j))\} & if \ i\geq 1 \ and \ j\geq1 \end{matrix}\right.$