題目描述

求出1~13的整數中1出現的次數,並算出100~1300的整數中1出現的次數？為此他特別數了一下1~13中包含1的數字有1、10、11、12、13因此共出現6次,但是對於後面問題他就沒轍了。ACMer希望你們幫幫他,並把問題更加普遍化,可以很快的求出任意非負整數區間中1出現的次數（從1 到 n 中1出現的次數）。

比較偏數學技巧的一道題，規律總結如下(注意不存在的位看做該位的數是0)：

一、1的數目

程式設計之美上給出的規律：

1. 如果第i位（自右至左，從1開始標號）上的數字為0，則第i位可能出現1的次數由更高位決定（若沒有高位，視高位為0），等於更高位數字X當前位數的權重10i-1。

2. 如果第i位上的數字為1，則第i位上可能出現1的次數不僅受更高位影響，還受低位影響（若沒有低位，視低位為0），等於更高位數字X當前位數的權重10i-1+（低位數字+1）。

3. 如果第i位上的數字大於1，則第i位上可能出現1的次數僅由更高位決定（若沒有高位，視高位為0），等於（更高位數字+1）X當前位數的權重10i-1。

二、X的數目

這裡的  X∈[1,9] ，因為  X=0  不符合下列規律，需要單獨計算。

首先要知道以下的規律：

• 從 1 至 10，在它們的個位數中，任意的 X 都出現了 1 次。
• 從 1 至 100，在它們的十位數中，任意的 X 都出現了 10 次。
• 從 1 至 1000，在它們的百位數中，任意的 X 都出現了 100 次。

依此類推，從 1 至  10 i ，在它們的左數第二位（右數第  i  位）中，任意的 X 都出現了  10 i−1  次。

這個規律很容易驗證，這裡不再多做說明。

接下來以  n=2593,X=5  為例來解釋如何得到數學公式。從 1 至 2593 中，數字 5 總計出現了 813 次，其中有 259 次出現在個位，260 次出現在十位，294 次出現在百位，0 次出現在千位。

現在依次分析這些資料，首先是個位。從 1 至 2590 中，包含了 259 個 10，因此任意的 X 都出現了 259 次。最後剩餘的三個數 2591, 2592 和 2593，因為它們最大的個位數字 3 < X，因此不會包含任何 5。（也可以這麼看，3<X，則個位上可能出現的X的次數僅由更高位決定，等於更高位數字（259）X101-1=259）。

然後是十位。從 1 至 2500 中，包含了 25 個 100，因此任意的 X 都出現了  25×10=250  次。剩下的數字是從 2501 至 2593，它們最大的十位數字 9 > X，因此會包含全部 10 個 5。最後總計 250 + 10 = 260。（也可以這麼看，9>X，則十位上可能出現的X的次數僅由更高位決定，等於更高位數字（25+1）X102-1=260）。

接下來是百位。從 1 至 2000 中，包含了 2 個 1000，因此任意的 X 都出現了  2×100=200  次。剩下的數字是從 2001 至 2593，它們最大的百位數字 5 == X，這時情況就略微複雜，它們的百位肯定是包含 5 的，但不會包含全部 100 個。如果把百位是 5 的數字列出來，是從 2500 至 2593，數字的個數與百位和十位數字相關，是 93+1 = 94。最後總計 200 + 94 = 294。（也可以這麼看，5==X，則百位上可能出現X的次數不僅受更高位影響，還受低位影響，等於更高位數字（2）X103-1+（93+1）=294）。

最後是千位。現在已經沒有更高位，因此直接看最大的千位數字 2 < X，所以不會包含任何 5。（也可以這麼看，2<X，則千位上可能出現的X的次數僅由更高位決定，等於更高位數字（0）X104-1=0）。

到此為止，已經計算出全部數字 5 的出現次數。

總結一下以上的演算法，可以看到，當計算右數第  i  位包含的 X 的個數時：

1. 取第  i  位左邊（高位）的數字，乘以  10 i−1 ，得到基礎值  a 。
2. 取第  i  位數字，計算修正值：
   1. 如果大於 X，則結果為  a+ 10 i−1 。
   2. 如果小於 X，則結果為  a 。
   3. 如果等 X，則取第  i  位右邊（低位）數字，設為  b ，最後結果為  a+b+1 。

# -*- coding:utf-8 -*-
class Solution:
    def NumberOf1Between1AndN_Solution(self, n):
        # write code here
        if n<0:
            return 0
        high=n
        low=1
        cur=1
        total=0
        i=1
        while high!=0:
            high=int(n/(10**i)) #獲得第i位的高位
            tmp=n%(10**i)
            cur=int(tmp/(10**(i-1)))  #獲得第i位
            low=tmp%(10**(i-1)) #獲得第i位的低位
            if cur==1:
                total+=high*(10**(i-1))+low+1
            elif cur<1:
                total+=(high)*(10**(i-1))
            else:
                total+=(high+1)*(10**(i-1))
            i+=1
        return total