看動畫輕松理解時間復雜度（一）
算法（Algorithm）是指用來操作數據、解決程序問題的一組方法。對於同一個問題，使用不同的算法，也許最終得到的結果是一樣的，比如排序就有前面的十大經典排序和幾種奇葩排序，雖然結果相同，但在過程中消耗的資源和時間卻會有很大的區別，比如快速排序與猴子排序：）。
那麽我們應該如何去衡量不同算法之間的優劣呢？
主要還是從算法所占用的「時間」和「空間」兩個維度去考量。
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時間維度：是指執行當前算法所消耗的時間，我們通常用「時間復雜度」來描述。
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空間維度：是指執行當前算法需要占用多少內存空間，我們通常用「空間復雜度」來描述。
本小節將從「時間」的維度進行分析。
什麽是大O
當看「時間」二字，我們肯定可以想到將該算法程序運行一篇，通過運行的時間很容易就知道復雜度了。
這種方式可以嗎？當然可以，不過它也有很多弊端。
比如程序員小吳的老式電腦處理10w數據使用冒泡排序要幾秒，但讀者的iMac Pro 可能只需要0.1s，這樣的結果誤差就很大了。更何況，有的算法運行時間要很久，根本沒辦法沒時間去完整的運行，還是比如猴子排序：）。
那有什麽方法可以嚴謹的進行算法的時間復雜度分析呢？
有的!
「 遠古 」的程序員大佬們提出了通用的方法：「 大O符號表示法 」，即 T(n) = O(f(n))。
其中 n 表示數據規模 ，O(f(n))表示運行算法所需要執行的指令數，和f(n)成正比。
上面公式中用到的 Landau符號是由德國數論學家保羅·巴赫曼（Paul Bachmann）在其1892年的著作《解析數論》首先引入，由另一位德國數論學家艾德蒙·朗道（Edmund Landau）推廣。Landau符號的作用在於用簡單的函數來描述復雜函數行為，給出一個上或下（確）界。在計算算法復雜度時一般只用到大O符號，Landau符號體系中的小o符號、Θ符號等等比較不常用。這裏的O，最初是用大寫希臘字母，但現在都用大寫英語字母O；小o符號也是用小寫英語字母o，Θ符號則維持大寫希臘字母Θ。
註：本文用到的算法中的界限指的是最低的上界。
常見的時間復雜度量級
我們先從常見的時間復雜度量級進行大O的理解：
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常數階O(1)
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線性階O(n)
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平方階O(n2)
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對數階O(logn)
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線性對數階O(nlogn)
O(1)
無論代碼執行了多少行，其他區域不會影響到操作，這個代碼的時間復雜度都是O(1)
1void swapTwoInts(int &a, int &b){
2 int temp = a;
3 a = b;
4 b = temp;
5}
O(n)
在下面這段代碼，for循環裏面的代碼會執行 n 遍，因此它消耗的時間是隨著 n 的變化而變化的，因此可以用O(n)來表示它的時間復雜度。
1int sum ( int n ){
2 int ret = 0;
3 for ( int i = 0 ; i <= n ; i ++){
4 ret += i;
5 }
6 return ret;
7}
特別一提的是 c * O(n) 中的 c 可能小於 1 ，比如下面這段代碼：
1void reverse ( string &s ) {
2 int n = s.size();
3 for (int i = 0 ; i < n/2 ; i++){
4 swap ( s[i] , s[n-1-i]);
5 }
6}
O(n2)
當存在雙重循環的時候，即把 O(n) 的代碼再嵌套循環一遍，它的時間復雜度就是 O(n2) 了。
1void selectionSort(int arr[],int n){
2 for(int i = 0; i < n ; i++){
3 int minIndex = i;
4 for (int j = i + 1; j < n ; j++ )
5 if (arr[j] < arr[minIndex])
6 minIndex = j;
7
8 swap ( arr[i], arr[minIndex]);
9 }
10}
這裏簡單的推導一下
- 當 i = 0 時，第二重循環需要運行 (n - 1) 次
- 當 i = 1 時，第二重循環需要運行 (n - 2) 次
- 。。。。。。
不難得到公式：
1(n - 1) + (n - 2) + (n - 3) + ... + 0
2= (0 + n - 1) * n / 2
3= O (n ^2)
當然並不是所有的雙重循環都是 O(n2)，比如下面這段輸出 30n 次 Hello,五分鐘學算法：）的代碼。
1void printInformation (int n ){
2 for (int i = 1 ; i <= n ; i++)
3 for (int j = 1 ; j <= 30 ; j ++)
4 cout<< "Hello,五分鐘學算法：）"<< endl;
5}
O(logn)
1int binarySearch( int arr[], int n , int target){
2 int l = 0, r = n - 1;
3 while ( l <= r) {
4 int mid = l + (r - l) / 2;
5 if (arr[mid] == target) return mid;
6 if (arr[mid] > target ) r = mid - 1;
7 else l = mid + 1;
8 }
9 return -1;
10}
在二分查找法的代碼中，通過while循環，成 2 倍數的縮減搜索範圍，也就是說需要經過 log2^n 次即可跳出循環。
同樣的還有下面兩段代碼也是 O(logn) 級別的時間復雜度。
1 // 整形轉成字符串
2 string intToString ( int num ){
3 string s = "";
4 // n 經過幾次“除以10”的操作後，等於0
5 while (num ){
6 s += ‘0‘ + num%10;
7 num /= 10;
8 }
9 reverse(s)
10 return s;
11 }
1void hello (int n ) {
2 // n 除以幾次 2 到 1
3 for ( int sz = 1; sz < n ; sz += sz)
4 for (int i = 1; i < n; i++)
5 cout<< "Hello,五分鐘學算法：）"<< endl;
6}
O(nlogn)
將時間復雜度為O(logn)的代碼循環N遍的話，那麽它的時間復雜度就是 n * O(logn)，也就是了O(nlogn)。
1void hello (){
2 for( m = 1 ; m < n ; m++){
3 i = 1;
4 while( i < n ){
5 i = i * 2;
6 }
7 }
8}
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