文首

  我們都知道負數在計算機中是以補碼（忘了補碼定義的戳這裡）表示的，那為什麼呢？本文嘗試瞭解補碼的原理，而要想理解它，首先得理解算術中“模”的概念。所以首先看一下什麼是模，然後通過一個小例子來理解補碼。

1 模（Modulo）

1.1 什麼是模數

In mathematics, modular arithmetic is a system of arithmetic for integers, where numbers “wrap around” upon reaching a certain value—the modulus (plural moduli).

1.1.1 理解

  模是指一個計量系統的計數範圍。如時鐘等。計算機也是一個計算器，它也是有一個計量範圍，即都存在一個“模”。   如時鐘的計量範圍是0~11，模 = 12。   32位計算機的計量範圍是2^32，模 = 2^32。   “模”是計量器產生“溢位”的量，它的值在計量器上表示不出來，計量器上只能表示出模的餘數，如12的餘數有0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11。

1.2 補數

  假設當前時針指向11點，而準確時間是8點，調整時間可有以下兩種撥法：

• 一種是倒撥3小時，即：11-3=8
• 另一種是順撥9小時：11+9=12+8=8

  在以模為12的系統中，加9和減3效果是一樣的，因此凡是減3運算，都可以用加9來代替。對“模”12而言，9和3互為補數

1.3 再談“模”

  從上面的化減法為加法，以及所謂的溢位等等可以看到，“模”可以說就是一個太極，陰陽轉化，周而復始，無始無終，迴圈往復。

2 補碼原理

  計算機上的補碼就是算術裡的補數。   設我們有一個 4 位的計算機，則其計量範圍即模是 2^4 = 16，所以其能夠表示的範圍是0~15，現在以計算 5 - 3為例，我們知道在計算機中，加法器實現最簡單，所以很多運算最終都要轉為加法運算，因此5-3就要轉化為加法：

 # 按以上理論，減一個數等於加上它的補數，所以
 5 - 3
 # 等價於 
 5 + (16 - 3)   // 算術運算單元將減法轉化為加法
 # 用二進位制表示則為：
 0101 + (10000 - 0011)
 # 等價於
 0101 + ((1 + 1111) - 0011)
 # 等價於
 0101 + (1 + (1111 - 0011))
 # 等價於
 0101 + (1 + 1100) // 括號內是3（0011）的反碼+1，正是補碼的定義
 # 等價於
 0101 + 1101
 # 所以從這裡可以得到
 -3 = 1101
 # 即 `-3` 在計算機中的二進位制表示為 `1101`，正是“ -3 的正值 3（`0011`）的補碼（`1101`）”。
 # 最後一步 0101 + 1101 等於
 10010
 

  因為我們的計算機是 4 位的，第一位“溢位”了，所以我們只儲存了 4 位，即 0010，而當計算機去讀取時這正是我們所期望的 2！！歎為觀止吧，天才般的設計！感恩伏羲、萊布尼茲和馮諾依曼！

文末

  一陰一陽之謂道。萬事萬物，陰陽轉化，周而復始，無始無終，迴圈往復。

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