Description

給出一個N* N的矩陣B和一個1* N的矩陣C。求出一個1* N的01矩陣A使得D=(A*B-C)*A^T 最大。其中 A^T 為A的轉置。輸出D

1<=N<=500

Solution

我們令E=A*B-C，考慮E中每一位都是什麼，顯然有$E_i=A_i\cdot \left[\left(\sum_{j=1}^nA_j\cdot B_{i,j}\right)-C_i\right]$，我們要求的D就是對E求和，於是有$D={\sum }_{i=1}^n{E}_i={\sum }_{i=1}^n{\sum }_{j=1}^n{A}_{}$

原題等價於從n個物品中選出一些物品，當i、j同時被選則產生B[i,j]的價值，選i則有C[i]的花費，求最大價值。於是這就是一個最小割的模型了

Code

#include <stdio.h>
#include <string.h>
 

#include <queue>
#include <algorithm>
#define rep(i,st,ed) for (int i=st;i<=ed;++i)
#define fill(x,t) memset(x,t,sizeof(x))

const int INF=0x3f3f3f3f;
const int N=250505;
const int E=5000005;

struct edge {int x,y,w,next;} e[E];

int dis[N],cur[N],b[505][505],c[N];
int ls[N],edCnt=1;

int read
 
() {
	int x=0,v=1; char ch=getchar();
	for (;ch<'0'||ch>'9';v=(ch=='-')?(-1):(v),ch=getchar());
	for (;ch<='9'&&ch>='0';x=x*10+ch-'0',ch=getchar());
	return x*v;
}

void add_edge(int x,int y,int w) {
	e[++edCnt]=(edge) {x,y,w,ls[x]}; ls[x]=edCnt;
	e[++edCnt]=(edge) {y,x,0,ls[y]}; ls[y]=edCnt;
}

bool bfs(int st,int ed) {
	std:: queue <int> que;
	que.push(st);
	rep(i,st,ed) dis[i]=-1; dis[st]=1;
	for (;!que.empty();) {
		int now=que.front(); que.pop();
		for (int i=ls[now];i;i=e[i].next) {
			if (e[i].w>0&&dis[e[i].y]==-1) {
				dis[e[i].y]=dis[now]+1;
				if (e[i].y==ed) return true;
				que.push(e[i].y);
			}
		}
	}
	return false;
}

int find(int now,int ed,int mn) {
	if (now==ed||!mn) return mn;
	int ret=0;
	for (int &i=cur[now];i;i=e[i].next) {
		if (e[i].w>0&&dis[now]+1==dis[e[i].y]) {
			int d=find(e[i].y,ed,std:: min(mn-ret,e[i].w));
			e[i].w-=d; e[i^1].w+=d; ret+=d;
			if (ret==mn) break;
		}
	}
	return ret;
}

int dinic(int st,int ed) {
	int ret=0;
	for (;bfs(st,ed);) {
		rep(i,st,ed) cur[i]=ls[i];
		ret+=find(st,ed,INF);
	}
	return ret;
}

int main(void) {
	int n=read(),sum=0;
	rep(i,1,n) rep(j,1,n) b[i][j]=read(),sum+=b[i][j];
	rep(i,1,n) c[i]=read();
	rep(i,1,n) rep(j,1,n) {
		add_edge(0,(i-1)*n+j,b[i][j]);
		add_edge((i-1)*n+j,n*n+i,INF);
		add_edge((i-1)*n+j,n*n+j,INF);
	}
	rep(i,1,n) add_edge(n*n+i,n*n+n+1,c[i]);
	printf("%d\n", sum-dinic(0,n*n+n+1));
	return 0;
}