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題目意思：求
$\underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\underset{}{\overset{}{\sum }}$

其實我們前面將式子化簡成了：

$=\sum_{d=1}^nd\sum_{w=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}\mu(w)w^2S(\left\lfloor\frac{n}{dw}\right\rfloor)S(\left\lfloor\frac{n}{dw}\right\rfloor)$

其中 $S(n)=\frac{n\times(n+1)}{2}$

其實這個時候我們用杜教篩篩 $\sum_{i=1}^n\mu(i)i^2$即可在 $O(n^{\frac{3}{4}})$時間內做出（分塊套分塊再加杜教篩）。

對於 $f(x)=\mu(x)x^2$的字首和 $F(n)$，我們可以根據杜教篩的套路，令 $g(x)=x^2$，那麼 $h=f\bigotimes g$就等於（ $\bigotimes$為狄利克雷卷積）：

$=\sum_{d|n}\mu(d)d^2\left(\frac{n}{d}\right)^2\\ =n^2\sum_{d|n}\mu(d)\\ =n^2[n=1]\\ =[n=1]$

此時帶入杜教篩公式即可得，其中後面要除以 $g(1)$，但因為 $g(1)=1$這裡略去：

$F(n)=\sum_{i=1}^nh(i)-\sum_{i=2}^ng(i)F(\left\lfloor\frac{n}{i}\right\rfloor)\\ =1-\sum_{i=2}^ni^2F(\left\lfloor\frac{n}{i}\right\rfloor)$

就可以直接遞迴篩了。

但是我們可以繼續看，轉而列舉乘積 $dw$，令 $T=dw$則可以得到原式等於：

$=\sum_{T=1}^nS(\left\lfloor\frac{n}{T}\right\rfloor)S(\left\lfloor\frac{m}{T}\right\rfloor)\sum_{d|T}^n\mu(d)d^2\left(\frac{T}{d}\right)\\ =\sum_{T=1}^nS(\left\lfloor\frac{n}{T}\right\rfloor)S(\left\lfloor\frac{m}{T}\right\rfloor)T\sum_{d|T}\mu(d)d\\$