一個機器人位於一個m*n的網格的左上角。

它每次只能向下或向右移動一格。它試圖到達網格的右下角。

求有多少種不重複的路徑？

備註：
m和n最大為100.

示例1：

Input: m = 3, n = 2
Output: 3
Explanation:
From the top-left corner, there are a total of 3 ways to reach the bottom-right corner:
1. Right -> Right -> Down
2. Right -> Down -> Right
3. Down -> Right -> Right
 

示例2：

Example 2:
Input: m = 7, n = 3
Output: 28

思路

1、數學法

路徑數是可以通過數學公式直接計算出來的。

對於m*n的網格，從左上角到右下角，無論怎麼走，都必定包含 m-1 次右移和 n-1 次下移。

因此問題轉換為：將 m-1 個黑球和 n-1 個白球串成長度為 m+n-2 的佇列，問排列方式有幾種。

這是一個排列組合文體，方法為：從 m+n-2 個空位置中，選出 m-1 個位置，放黑球，其他位置放白球。

因此排列方式有 $C_{}^{}$

m + n − 2 m − 1

= ( m + n − 2 ) ! / [ ( m − 1 ) ! ( n − 1 ) ! ] C_{m+n-2}^{m-1} = (m+n-2)! / [(m-1)!(n-1)!] 種。

2、動態規劃

設左上角座標為(0,0)，右下角座標為(m,n)。

則走到(m,n)的路徑數 = 走到(m-1,n)的路徑數 + 走到(m,n-1)的路徑數。

這是因為：

• 要想走到(m,n)，必定會經過(m-1,n)或(m,n-1)的其中一個，因此需要相加。
• 經過其中一個之後，只有一種走法可以到達終點，沒有其他選擇，因此不用乘以係數。
• 經過其中一個之後，必定不會經過另外一個，不會有重疊，因此不用減去他們的交集。

python實現

import math
def uniquePaths1(m, n):
    """
    :type m: int
    :type n: int
    :rtype: int
    數學法。
    """
    return int(math.factorial(m+n-2) / math.factorial(m-1) / math.factorial(n-1))

def uniquePaths2(m, n):
    """
    :type m: int
    :type n: int
    :rtype: int
    動態規劃。
    """
    dp = [[1] * n for _ in range(m)]
    for i in range(1, m):
        for j in range(1, n):
            dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]
    return dp[-1][-1]
    

if '__main__' == __name__:
    m, n = 7, 3
    print(uniquePaths2(m, n))