CF193D Two Segments (線段樹+dp)(外加兩個擴充套件題)
大概算是個系列整理
(最強版是模擬賽原題))
首先,我們先來看這個題目。
QWQ一開始是毫無頭緒,除了列舉就是列舉
首先,我們可以列舉一個右端點,然後算一下當前右端點的答案
我們令\(f[l,r]\)表示\(a_l到a_r\)這些數,能夠最少劃分成幾段連續的數。
顯然,我們要求的是以每個端點為右端點,\(f值<=2的\)
QWQ那麼這個玩意應該怎麼維護+更新呢
考慮右端點移動,會造成什麼後果。
我們令新擴充套件的位置是\(r\),數是\(x\),他的前驅的位置是\(pre\),後繼的位置是\(last\)
\(比如3的前驅就是2,後繼是4\)
首先,\(f[1,r]....f[r,r]\)
如果\(pre\)在當前位置的前面,那麼\(f[1..r]....[pre,r]\)應該要-1,因為所有從pre之前出發的左端點,新的數可以和前驅的合併,就可以減少一段
那麼如果\(last\)前面,也是同理的。
所以,我們需要一個支援區間維護最小值,最小值個數,次小值,次小值個數,還支援區間加和減的一個數據結構
線段樹!
這裡有幾個要注意的地方就是:
1.維護的是嚴格的最小值和次小值,也就是說兩個值不能相同,所以\(up\)的時候,會有一些小細節
void up(int root) { if (f[2*root].mn<f[2*root+1].mn) { f[root].mn=f[2*root].mn; f[root].cimn=min(f[2*root].cimn,f[2*root+1].mn); } else { if (f[2*root].mn>f[2*root+1].mn) { f[root].mn=f[2*root+1].mn; f[root].cimn=min(f[2*root].mn,f[2*root+1].cimn); } else { f[root].mn=min(f[2*root].mn,f[2*root+1].mn); f[root].cimn=min(f[2*root].cimn,f[2*root+1].cimn); } } if(f[root].cimn==f[root].mn) f[root].cimn=1e9; f[root].sum1=f[2*root].sum1*(f[2*root].mn==f[root].mn)+f[2*root+1].sum1*(f[2*root+1].mn==f[root].mn); f[root].sum2=f[2*root].sum2*(f[2*root].cimn==f[root].cimn)+f[2*root+1].sum2*(f[2*root+1].cimn==f[root].cimn && f[root].cimn!=1e9); f[root].sum2+=f[2*root].sum1*(f[2*root].mn==f[root].cimn)+f[2*root+1].sum1*(f[2*root+1].mn==f[root].cimn); }
2.\(query\)由於我們要求的是\(<=2\)的值的個數,所以求和的時候,要注意滿足\(mn<=2\)(\(cimn==2\))
long long query(int root,int l,int r,int x,int y) { if (x<=l && r<=y) { //cout<<l<<" "<<r<<endl; //cout<<f[root].mn<<" "<<f[root].cimn<<endl; return f[root].sum1*(f[root].mn<=2) + f[root].sum2*(f[root].cimn!=f[root].mn && f[root].cimn<=2); } int mid = l+r >> 1; long long ans=0; pushdown(root,l,r); if (x<=mid) ans=ans+query(2*root,l,mid,x,y); if (y>mid) ans=ans+query(2*root+1,mid+1,r,x,y); return ans; }
QWQ大概就是這樣了?
具體直接看程式碼吧
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#define mk makr_pair
#define ll long long
#define int long long
using namespace std;
inline int read()
{
int x=0,f=1;char ch=getchar();
while (!isdigit(ch)) {if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
while (isdigit(ch)) {x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}
return x*f;
}
const int maxn= 4e5+1e2;
struct Node
{
int mn,cimn;
int sum1,sum2;
};
Node f[4*maxn];
int add[4*maxn];
int n,m;
int a[maxn],b[maxn];
long long ans;
void up(int root)
{
if (f[2*root].mn<f[2*root+1].mn)
{
f[root].mn=f[2*root].mn;
f[root].cimn=min(f[2*root].cimn,f[2*root+1].mn);
}
else
{
if (f[2*root].mn>f[2*root+1].mn)
{
f[root].mn=f[2*root+1].mn;
f[root].cimn=min(f[2*root].mn,f[2*root+1].cimn);
}
else
{
f[root].mn=min(f[2*root].mn,f[2*root+1].mn);
f[root].cimn=min(f[2*root].cimn,f[2*root+1].cimn);
}
}
if(f[root].cimn==f[root].mn) f[root].cimn=1e9;
f[root].sum1=f[2*root].sum1*(f[2*root].mn==f[root].mn)+f[2*root+1].sum1*(f[2*root+1].mn==f[root].mn);
f[root].sum2=f[2*root].sum2*(f[2*root].cimn==f[root].cimn)+f[2*root+1].sum2*(f[2*root+1].cimn==f[root].cimn && f[root].cimn!=1e9);
f[root].sum2+=f[2*root].sum1*(f[2*root].mn==f[root].cimn)+f[2*root+1].sum1*(f[2*root+1].mn==f[root].cimn);
}
void pushdown(int root,int l,int r)
{
if (add[root])
{
add[2*root]+=add[root];
add[2*root+1]+=add[root];
f[2*root].mn+=add[root];
f[2*root].cimn+=add[root];
f[2*root+1].mn+=add[root];
f[2*root+1].cimn+=add[root];
add[root]=0;
}
}
void build(int root,int l,int r)
{
if(l==r)
{
f[root].sum1=1;
f[root].sum2=0;
f[root].cimn=1e9;
return;
}
int mid = l+r >> 1;
build(2*root,l,mid);
build(2*root+1,mid+1,r);
up(root);
}
void update(int root,int l,int r,int x,int y,int p)
{
if (x<=l && r<=y)
{
add[root]+=p;
f[root].mn+=p;
f[root].cimn+=p;
return;
}
int mid = l+r >> 1;
pushdown(root,l,r);
if(x<=mid) update(2*root,l,mid,x,y,p);
if(y>mid) update(2*root+1,mid+1,r,x,y,p);
up(root);
}
long long query(int root,int l,int r,int x,int y)
{
if (x<=l && r<=y)
{
//cout<<l<<" "<<r<<endl;
//cout<<f[root].mn<<" "<<f[root].cimn<<endl;
return f[root].sum1*(f[root].mn<=2) + f[root].sum2*(f[root].cimn!=f[root].mn && f[root].cimn<=2);
}
int mid = l+r >> 1;
long long ans=0;
pushdown(root,l,r);
if (x<=mid) ans=ans+query(2*root,l,mid,x,y);
if (y>mid) ans=ans+query(2*root+1,mid+1,r,x,y);
return ans;
}
signed main()
{
n=read();
for (int i=1;i<=n;i++) a[i]=read();
for (int i=1;i<=n;i++) b[a[i]]=i;
build(1,1,n);
// update(1,1,n,1,3,1);
//update(1,1,n,1,2,1);
//cout<<query(1,1,n,1,3)<<endl;
//return 0;
for (int i=1;i<=n;i++)
{
int x = a[b[i]-1],y=a[b[i]+1];
update(1,1,n,1,i,1);
if (x && x<i) update(1,1,n,1,x,-1);
if (y && y<i) update(1,1,n,1,y,-1);
ans=ans+query(1,1,n,1,i);
//cout<<ans<<endl;
}
cout<<ans-n<<endl;
return 0;
}
QWQ嚶嚶嚶
那麼如果換一種問法,應該怎麼辦呢?
給定一個你長度為\(n\)的序列,然後求出來有多少個區間滿足最大值減去最小值等於區間長度-1
其實和上個題目差不多了啦。
只不過我們只需要維護最小值,然後求和的時候,只需要滿足最小值等於1即可
直接給程式碼(只呈現關鍵部分的)
void up(int root)
{
g[root].mn=min(g[2*root].mn,g[2*root+1].mn);
g[root].ans=g[2*root].ans*(g[2*root].mn==g[root].mn)+g[2*root+1].ans*(g[2*root+1].mn==g[root].mn);
}
void pushdown(int root,int l,int r)
{
if (add[root])
{
add[2*root]+=add[root];
add[2*root+1]+=add[root];
g[2*root].mn+=add[root];
g[2*root+1].mn+=add[root];
add[root]=0;
}
}
void build(int root,int l,int r)
{
if (l==r)
{
g[root].ans=1;
return;
}
int mid = l+r >> 1;
build(2*root,l,mid);
build(2*root+1,mid+1,r);
up(root);
}
void update(int root,int l,int r,int x,int y,int p)
{
if(x<=l && r<=y)
{
g[root].mn+=p;
add[root]+=p;
return;
}
pushdown(root,l,r);
int mid = l+r >> 1;
if (x<=mid) update(2*root,l,mid,x,y,p);
if (y>mid) update(2*root+1,mid+1,r,x,y,p);
up(root);
}
long long query(int root,int l,int r,int x,int y)
{
if(x<=l && r<=y)
{
return g[root].ans*(g[root].mn==1);
}
pushdown(root,l,r);
int mid = l+r >> 1;
long long ans=0;
if (x<=mid) ans=ans+query(2*root,l,mid,x,y);
if (y>mid) ans=ans+query(2*root+1,mid+1,r,x,y);
return ans;
}
既然都做到這個程度了,不如就更毒瘤 一點
現在給定你一顆n個點的樹,每個點都有一個編號,每條邊的長度都是1,讓你求有多少條路經滿足最大編號-最小編號等於路徑長度。
woc上樹了....那該怎麼做啊?
是不是可以考慮和序列上的相類似呢?
我們不妨對每個點維護一個\(dfn[x]\)表示這個點的\(dfs\)序。
然後依次列舉dfs序上的每個點,計算dfs序從1到當前點之前的所有點到當前點的合法路徑條數。
類比序列
對於當前點來說,首先我們要讓1到當前點之前所有的路徑都+1,然後呢。
我們考慮前驅和後繼的位置
這裡需要討論一個是否是祖先的關係(因為畫個圖就能發現,如果是祖先,那麼這個點會影響的路徑起點是1到\(dfn[x]\),不然就是他的子樹內的所有點)
後繼同樣是如此
而且在計算完每個兒子的時候,記得加上當前兒子對其他兒子的貢獻。
然後最後記得把一個點的貢獻都還原,因為我們需要計算別的答案,而當前點就會變成起點之一,那麼他作為終點的貢獻,就是要去掉的。
QWQ有一些細節寫到程式碼裡面了
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#define mk makr_pair
#define ll long long
#define int long long
using namespace std;
inline int read()
{
int x=0,f=1;char ch=getchar();
while (!isdigit(ch)) {if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
while (isdigit(ch)) {x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}
return x*f;
}
const int maxn = 1e5+1e2;
const int maxm = 2*maxn;
int point[maxn],nxt[maxm],to[maxm];
int cnt,n,m;
int dfn[maxn];
int ans;
void addedge(int x,int y)
{
nxt[++cnt]=point[x];
to[cnt]=y;
point[x]=cnt;
}
struct Node{
int mn,ans;
int len;
};
Node g[4*maxn];
int add[4*maxn];
void up(int root)
{
g[root].mn=min(g[2*root].mn,g[2*root+1].mn);
g[root].ans=g[2*root].ans*(g[2*root].mn==g[root].mn)+g[2*root+1].ans*(g[2*root+1].mn==g[root].mn);
}
void pushdown(int root,int l,int r)
{
if (add[root])
{
add[2*root]+=add[root];
add[2*root+1]+=add[root];
g[2*root].mn+=add[root];
g[2*root+1].mn+=add[root];
add[root]=0;
}
}
void build(int root,int l,int r)
{
if (l==r)
{
g[root].ans=1;
return;
}
int mid = l+r >> 1;
build(2*root,l,mid);
build(2*root+1,mid+1,r);
up(root);
}
void update(int root,int l,int r,int x,int y,int p)
{
if (x>y) return;
if(x<=l && r<=y)
{
g[root].mn+=p;
add[root]+=p;
return;
}
pushdown(root,l,r);
int mid = l+r >> 1;
if (x<=mid) update(2*root,l,mid,x,y,p);
if (y>mid) update(2*root+1,mid+1,r,x,y,p);
up(root);
}
long long query(int root,int l,int r,int x,int y)
{
if (x>y) return 0;
if(x<=l && r<=y)
{
return g[root].ans*(g[root].mn==1);
}
pushdown(root,l,r);
int mid = l+r >> 1;
long long ans=0;
if (x<=mid) ans=ans+query(2*root,l,mid,x,y);
if (y>mid) ans=ans+query(2*root+1,mid+1,r,x,y);
return ans;
}
int deep[maxn];
int f[maxn][21];
int a[maxn],b[maxn];
int size[maxn];
int tot;
int maxdfn[maxn]; //表示已經計算過的兒子的子樹裡面的最大的dfs序
void dfs(int x,int fa,int dep)
{
deep[x]=dep;
dfn[x]=++tot;
size[x]=1;
for (int i=point[x];i;i=nxt[i])
{
int p = to[i];
if (p==fa) continue;
f[p][0]=x;
dfs(p,x,dep+1);
size[x]+=size[p];
}
}
void init()
{
for (int j=1;j<=20;j++)
for (int i=1;i<=n;i++)
f[i][j]=f[f[i][j-1]][j-1];
}
int go_up(int x,int d)
{
for (int i=0;i<=20;i++)
if ((1<<i)&d) x=f[x][i];
return x;
}
bool check(int x,int fa)
{
if (fa==0 || fa==n+1) return 0;
if(deep[x]<=deep[fa]) return 0;
if (go_up(x,deep[x]-deep[fa])==fa) return 1;
else return 0;
}
int dp(int x,int fa)//我們對於每個點,計算的是 dfs序上[i,r]的合法路徑條數
{
maxdfn[x]=dfn[x];
update(1,1,n,1,dfn[x],1); //首先把之前的全部+1
if (dfn[x-1]<dfn[x] && x!=1)
{
if (check(x,x-1))
update(1,1,n,1,maxdfn[x-1],-1); //相當於這些點都是從x-1到達x,(相當於除去這個子樹外所有的dfs小於當前點的點)所以應該-1,因為可以合併
else
update(1,1,n,dfn[x-1],dfn[x-1]+size[x-1]-1,-1); //如果不是祖先關係,那麼從x-1到達x的路徑,一定是從他的子樹裡面出發的 (而且子樹內的任何一個點的dfs序一定都在當前點之前)
}
if (dfn[x+1]<dfn[x] && x!=n)
{
if (check(x,x+1))
update(1,1,n,1,maxdfn[x+1],-1);
else
update(1,1,n,dfn[x+1],dfn[x+1]+size[x+1]-1,-1);
}
ans=ans+query(1,1,n,1,dfn[x]);
for (int i=point[x];i;i=nxt[i])
{
int p = to[i];
if (p==fa) continue;
int now = dp(p,x);
update(1,1,n,maxdfn[x]+1,now,1); //處理兒子之間的影響 (因為計算一個點的代價的時候,不僅有祖先或者是別的子樹的,還要計算兄弟的)
if (x!=1 && (p==x-1 || check(x-1,p))) update(1,1,n,dfn[x-1],dfn[x-1]+size[x-1]-1,-1); //如果x-1在當前的兒子裡面,那麼他那個子樹裡到後面的點的代價就可以-1(理解成能夠合併)
if (x!=n && (p==x+1 || check(x+1,p))) update(1,1,n,dfn[x+1],dfn[x+1]+size[x+1]-1,-1);
maxdfn[x]=now;
}
if (dfn[x-1]<dfn[x] && x!=1)
{
if (check(x,x-1))
update(1,1,n,1,maxdfn[x-1],1);
else
update(1,1,n,dfn[x-1],dfn[x-1]+size[x-1]-1,1);
}
if (dfn[x+1]<dfn[x] && x!=n)
{
if (check(x,x+1))
update(1,1,n,1,maxdfn[x+1],1);
else
update(1,1,n,dfn[x+1],dfn[x+1]+size[x+1]-1,1);
}
update(1,1,n,1,dfn[x]-1,-1); //還原所有的操作,因為要計算別的為1 的ans,之所以是dfn[x]-1 相當於給這個賦值為1.(至少一段)
return maxdfn[x];
}
signed main()
{
n=read();
for (int i=1;i<n;i++)
{
int x=read(),y=read();
addedge(x,y);
addedge(y,x);
}
dfs(1,0,1);
init();
build(1,1,n);
for (int i=1;i<=n;i++) b[dfn[i]]=i;
dp(1,0);
cout<<ans;
return 0;
}