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FZU 1759-Super A^B mod C (尤拉函式+降冪公式)

尤拉函式是指:對於一個正整數n,小於n且和n互質的正整數(包括1)的個數,記作φ(n) 。

通式:φ(x)=x*(1-1/p1)*(1-1/p2)*(1-1/p3)*(1-1/p4)…..(1-1/pn),其中p1, p2……pn為x的所有質因數,x是不為0的整數。φ(1)=1(唯一和1互質的數就是1本身)。

對於質數p,φ(p) = p - 1。注意φ(1)=1.

尤拉定理:對於互質的正整數a和n,有aφ(n) ≡ 1 mod n。

尤拉函式是積性函式——

若m,n互質,φ(mn)=φ(m)φ(n)。

若n是質數p的k次冪,φ(n)=p^k-p^(k-1)=(p-1)p^(k-1),因為除了p的倍數外,

其他數都跟n互質。

特殊性質:當n為奇數時,φ(2n)=φ(n)

尤拉函式還有這樣的性質:

設a為N的質因數,若(N % a == 0 && (N / a) % a == 0) 則有E(N)=E(N / a) * a;若(N % a == 0 && (N / a) % a != 0) 則有:E(N) = E(N / a) * (a - 1)。

求尤拉函式的具體程式碼:
ll ol(ll x)
{
	ll i,res=x;
	for(i=2;i*i<=x;i++)
	{
		if(x%i==0)
		{
			res=res-res/i;
			while(x%i==0)
				x/=i;
		}
	}
	if(x>1)
		res=res-res/x;
	return res;
}
尤拉函式知道後,呢就直接上降冪公式了,該公式的證明就不在說了,挺難的。 直接上公式吧,畢竟還是很好記的。。。。 降冪公式:    (降冪公式中 phi() 為尤拉函式)
#include<map>  
#include<stack>  
#include<queue>  
#include<vector>  
#include<math.h>  
#include<stdio.h>  
#include<iostream>  
#include<string.h>  
#include<stdlib.h>  
#include<algorithm>  
using namespace std;  
typedef __int64  ll;  
#define inf 1000000000  
#define mod 1000000007 
#define  maxn  1000006
#define  lowbit(x) (x&-x)  
#define  eps 1e-10  
char s[maxn];
ll ol(ll x)
{
	ll i,res=x;
	for(i=2;i*i<=x;i++)
	{
		if(x%i==0)
		{
			res=res-res/i;
			while(x%i==0)
				x/=i;
		}
	}
	if(x>1)
		res=res-res/x;
	return res;
}
ll q(ll x,ll y,ll MOD)
{
	ll res=1;
	while(y)
	{
		if(y%2)
			res=res*x%MOD;
		x=x*x%MOD;
		y/=2;
	}
	return res;
}
int main(void)
{
	ll a,c,i,ans,tmp,b;
	while(scanf("%I64d%s%I64d",&a,s,&c)!=EOF)
	{
		ans=0;b=0;tmp=ol(c);
		ll len=strlen(s);
		for(i=0;i<len;i++)
			b=(b*10+s[i]-'0')%tmp;
		b+=tmp;
		ans=q(a,b,c);
		printf("%I64d\n",ans);
	}
	return 0;
}