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多項式求逆元模板【NTT/拆係數FFT】

阿新 • • 發佈：2018-12-29

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板題：

一. 洛谷4238：

模998244353，NTT：

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define maxn 400005
#define LL long long
using namespace std;
const int mod = 998244353, G = 3;
LL wn,w;
inline LL ksm(LL a,LL b){
	LL s=1;
	for(;b;b>>=1,a=a*a%mod) if(b&1) s=s*a%mod;
	return s;
}
inline
 
 void change(LL *a,int len)
{
	for(int i=1,j=len/2,k;i<len-1;i++)
	{
		if(i<j) swap(a[i],a[j]);
		for(k=len/2;j>=k;j-=k,k>>=1);
		j+=k;
	}
}
inline void ntt(LL *a,int len,int flg)
{
	change(a,len);
	for(int i=2;i<=len;i<<=1)
	{
		if(flg==1) wn=ksm(G,(mod-1)/i);
		else wn=ksm(G,mod-
 
1-(mod-1)/i);
		for(int j=0;j<len;j+=i)
		{
			w=1;
			for(int k=j;k<j+i/2;k++)
			{
				LL u=a[k],v=w*a[k+i/2]%mod;
				a[k]=(u+v)%mod,a[k+i/2]=(u-v+mod)%mod;
				w=w*wn%mod;
			}
		}
	}
	if(flg==-1){
		LL ni=ksm(len,mod-2);
		for(int i=0;i<len;i++) a[i]=a[i]*ni%mod;
	}
}
int n,len;
LL a[maxn],b[
 
maxn],tmp[maxn];
inline void poly_inv(int n,LL *a,LL *b)
{
	if(n==1) {b[0]=ksm(a[0],mod-2);return;}
	poly_inv((n+1)>>1,a,b);
	len=1;while(len<n+n-1) len<<=1;
	for(int i=0;i<len;i++) tmp[i]=i<n?a[i]:0;
	ntt(tmp,len,1),ntt(b,len,1);
	for(int i=0;i<len;i++) {b[i]=(2-tmp[i]*b[i]%mod)*b[i]%mod;if(b[i]<0) b[i]+=mod;}
	ntt(b,len,-1);
	for(int i=n;i<len;i++) b[i]=0;
}
int main()
{
	scanf("%d",&n);
	for(int i=0;i<n;i++) scanf("%lld",&a[i]);
	poly_inv(n,a,b);
	for(int i=0;i<n;i++) printf("%lld%c",b[i],i==n-1?10:32);
}
二. 洛谷4239

模109+7，拆係數FFT（7次fft版本）

// luogu-judger-enable-o2
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define maxn 400005
#define LL long long
using namespace std;
const int mod = 1e9+7, M1 = 31623, M2 = 14122;
const double Pi = acos(-1);
struct complex
{
	double r,i;
	complex(double _r=0,double _i=0):r(_r),i(_i){}
	complex operator + (const complex &t)const{return complex(r+t.r,i+t.i);}
	complex operator - (const complex &t)const{return complex(r-t.r,i-t.i);}
	complex operator * (const complex &t)const{return complex(r*t.r-i*t.i,r*t.i+i*t.r);}
	complex conj(){return complex(r,-i);}
}w[20][maxn/2];
inline void change(complex *a,int len)
{
	for(int i=1,j=len/2,k;i<len-1;i++)
	{
		if(i<j) swap(a[i],a[j]);
		for(k=len/2;j>=k;j-=k,k>>=1);
		j+=k;
	}
}
inline void fft(complex *a,int len,int flg)
{
	change(a,len);
	for(int i=2,o=0;i<=len;i<<=1,o++)
		for(int j=0;j<len;j+=i)
			for(int k=j;k<j+i/2;k++)
			{
				complex u=a[k],v=(flg==1?w[o][k-j]:w[o][k-j].conj())*a[k+i/2];
				a[k]=u+v,a[k+i/2]=u-v;
			}
	if(flg==-1) for(int i=0;i<len;i++) a[i].r/=len;
}
inline void MTT(int *a,int *b,int n,int *ret)
{
	static complex A[maxn],B[maxn],C[maxn],D[maxn],rt[3][maxn];
	int len=1;while(len<n+n-1) len<<=1;
	for(int i=0;i<len;i++)
		if(i<n)
		{
			A[i]=a[i]/M1,B[i]=a[i]%M1;
			C[i]=b[i]/M1,D[i]=b[i]%M1;
		}
		else A[i]=B[i]=C[i]=D[i]=0;
	fft(A,len,1),fft(B,len,1),fft(C,len,1),fft(D,len,1);
	for(int i=0;i<len;i++) rt[2][i]=A[i]*C[i],rt[1][i]=A[i]*D[i]+B[i]*C[i],rt[0][i]=B[i]*D[i];
	fft(rt[0],len,-1),fft(rt[1],len,-1),fft(rt[2],len,-1);
	for(int i=0;i<n;i++) ret[i]=((llround(rt[0][i].r)%mod+llround(rt[1][i].r)*M1%mod)%mod+llround(rt[2][i].r)*M2%mod)%mod;
}
inline int ksm(int a,int b){
	int s=1;
	for(;b;b>>=1,a=1ll*a*a%mod) if(b&1) s=1ll*s*a%mod;
	return s;
}
int n,a[maxn],b[maxn],tmp[maxn];
inline void poly_inv(int n,int *a,int *b)
{
	if(n==1) {b[0]=ksm(a[0],mod-2);return;}
	poly_inv((n+1)>>1,a,b);
	MTT(a,b,n,tmp);
	MTT(b,tmp,n,tmp);
	for(int i=0;i<n;i++) b[i]=(2*b[i]%mod-tmp[i]+mod)%mod;
}
int main()
{
	scanf("%d",&n);int len=1;while(len<n+n-1) len<<=1;
	for(int i=2,o=0;i<=len;i<<=1,o++)
		for(int j=0;j<i/2;j++)
			w[o][j]=complex(cos(2*Pi*j/i),sin(2*Pi*j/i));
	for(int i=0;i<n;i++) scanf("%d",&a[i]);
	poly_inv(n,a,b);
	for(int i=0;i<n;i++) printf("%d%c",b[i],i==n-1?10:32);
}

FFT（4次fft版本）
演算法解析可以看這兩篇 ↓ \darr （膜拜大佬）
Miskcoo’s Space
Clin233

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define maxn 400005
#define LL long long
using namespace std;
const int mod = 1e9+7, M = (1<<15)-1;
const double Pi = acos(-1);
struct complex
{
	double r,i;
	complex(double _r=0,double _i=0):r(_r),i(_i){}
	complex operator + (const complex &t)const{return complex(r+t.r,i+t.i);}
	complex operator - (const complex &t)const{return complex(r-t.r,i-t.i);}
	complex operator * (const complex &t)const{return complex(r*t.r-i*t.i,r*t.i+i*t.r);}
	complex conj(){return complex(r,-i);}
}w[20][maxn/2];
inline void change(complex *a,int len)
{
	for(int i=1,j=len/2,k;i<len-1;i++)
	{
		if(i<j) swap(a
            
  

           

              
              

            

            
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多項式求逆元模板【NTT/拆係數FFT】

     
  
 
  
  
  
   板題： 
 一. 洛谷4238： 
 模998244353，NTT： 
 #include<cstdio>
#include<algorithm>
#define maxn 400005
#define LL long long
using namesp 



  
 

    


    
    
【learning】 多項式求逆元詳解+模板

     
 n)   意義   詳解   需要   一個   求逆   ont   time   前置   概述
多項式求逆元是一個非常重要的知識點，許多多項式操作都需要用到該算法，包括多項式取模，除法，開跟，求ln，求exp，快速冪。用快速傅裏葉變換和倍增法可以在$O(n log n)$的時間復雜度下求出一個$n$次 



  
 

    


    
    
BZOJ 3456: 城市規劃 與 算法介紹(多項式求逆元 , dp)

     
 間接   zoj 3456   ini   不難   har   大小   #define   form   lock   
題面 :


求有 \(n\) 個點的無向有標號連通圖個數 . \((1 \le n \le 1.3 * 10^5)\)


題解 :

首先考慮 dp ... 直接算可行的方案數 , 



  
 

    


    
    
hdu 1576  A/B  求逆元模板題

     
 
                
一些基本概念：

乘法逆元，是指數學領域群G中任意一個元素a，都在G中有唯一的逆元a‘,具有性質a×a'=a'×a=e，其中e為該群的單位元。

用[a]n代表x%n=a.的所有滿足條件的x所組成的集合，其中a為集合中最小非負整數，用最小的非負整數來代表整個集合，即[a]n 



  
 

    


    
    
exgcd求逆元模板

     
 
								
								            
						
                
求x在模為mod時的逆元：
exgcd（x，mod，x，y）
求出後，第三個引數就是逆元。
mod可以不為質數
template <class T>
T exgcd(T a, T b, T 



  
 

    


    
    
[51nod 1258] [伯努利數] [多項式求逆] [任意模數NTT] 序列求和 V4

     
 
							
							
							

上次做一套模擬賽的時候，其中需要求自然數k次冪和，然後我只會n^2的…我記得n^2有20分，nlogn求可以爆到90分…… 
 
——鏼鏼鏼2015年國家集訓隊論文

大概就這樣多項式求個逆，求出生成函式就可以了 
這樣是O(nlogn)，但這道題模數不是滿 



  
 

    


    
    
洛谷P4238 【模板】多項式求逆（NTT）

     
 tdi   stdout   style   show   include   main   -a   沒有   如果   傳送門
 
學習了一下大佬的->這裏
已知多項式$A(x)$，若存在$A(x)B(x)\equiv 1\pmod{x^n}$
則稱$B(x)$為$A(x)$在模$x^n$下 



  
 

    


    
    
Luogu5205 【模板】多項式開根（NTT+多項式求逆）

     
 get   def   ostream   open   clas   lld   https   數組   %d   　　https://www.cnblogs.com/HocRiser/p/8207295.html 安利！
　　寫NTT把i<<=1寫成了i<<=2，又調了一年。發現 



  
 

    


    
    
luoguP4512 【模板】多項式除法 NTT+多項式求逆+多項式除法

     
 swa   define   space   wap   mod   inpu   eve   urn   --   Code:

#include<bits/stdc++.h>
#define maxn 300000 
#define ll long long 
#define MOD 



  
 

    


    
    
【BZOJ】4555: [Tjoi2016&Heoi2016]求和 排列組合+多項式求逆 或 斯特林數+NTT

     
 oid   int   lan   ret   多項式   algo   com   題意   orm   【題意】給定n，求Σi=0~nΣj=1~i s(i,j)*2^j*j!，n<=10^5。
【算法】生成函數+排列組合+多項式求逆
【題解】參考： [BZOJ4555][Tjoi2016&H 



  
 

    


    
    
【bzoj3456】城市規劃  容斥原理+NTT+多項式求逆

     
 方案   所在   scanf   整理   輸入   eof   輸出   std   define   題目描述
求出n個點的簡單(無重邊無自環)無向連通圖數目mod 1004535809(479 * 2 ^ 21 + 1).
輸入
僅一行一個整數n(<=130000)
輸出
僅一行一個整 



  
 

    


    
    
【模板】線性求逆元（洛谷P3367）

     
 Description 
　　給定\(n\),\(p\)求\(1~n\)中所有整數在模\(p\)意義下的乘法逆元。 
Input 
　　一行\(n\),\(p\)  
Output 
　　\(n\)行,第\(i\)行表示\(i\)在模\(p\)意義下的逆元。  
Solution 
#include<c 



  
 

    


    
    
【模板】分治FFT -cdq分治/多項式求逆

     
  
 
  
  
 傳送門：luogu【模板】分治 FFT 
  
 題意 
 給定長度為
     
      
       
        
         n
        
        
         −
        
        
         1
        
 



  
 

    


    
    
洛谷 4238 【模板】多項式求逆

     
 題目：https://www.luogu.org/problemnew/show/P4238 
方法：https://www.cnblogs.com/TimelyRain/p/10010233.html 
　　　https://www.cnblogs.com/xiefengze1/p/9107752.html 



  
 

    


    
    
洛谷 4721 【模板】分治 FFT——分治FFT / 多項式求逆

     
 題目：https://www.luogu.org/problemnew/show/P4721 
分治FFT：https://www.cnblogs.com/bztMinamoto/p/9749557.html 
　　　　　https://blog.csdn.net/VictoryCzt/article/det 



  
 

    


    
    
【BZOJ3625】【CF438E】小朋友和二叉樹（生成函式，多項式求逆，多項式開根，NTT）

     
 
                Description

我們的小朋友很喜歡電腦科學，而且尤其喜歡二叉樹。
考慮一個含有n個互異正整數的序列c[1],c[2],...,c[n]。如果一棵帶點權的有根二叉樹滿足其所有頂點的權值都在集合{c[1],c[2],...,c[n]}中，我們的小朋友就會將其稱作神犇的。 



  
 

    


    
    
【BZOJ3625】【CF438E】小朋友和二叉樹 NTT 生成函式 多項式開根 多項式求逆

     
 
							
							
							題目大意

　　考慮一個含有n個互異正整數的序列c1,c2,…,cn。如果一棵帶點權的有根二叉樹滿足其所有頂點的權值都在集合{c1,c2,…,cn}中，我們的小朋友就會將其稱作神犇的。並且他認為，一棵帶點權的樹的權值，是其所有頂點權值的總和。 
　　給出一個整數 



  
 

    


    
    
【bzoj3625】【CF438E/round250E】小朋友和二叉樹【FFT/NTT】【多項式求逆】【多項式開根】

     
 
							
							
							題目連結 
題解：我們設f[i]表示權值為i的二叉樹的數目，g[i]為i這個值是否在C集合中出現。則很容易得到f[x]=∑xi−1g[i]∑x−ij=0f[j]f[x−i−j]f[x]=∑i−1xg[i]∑j=0x−if[j]f[x−i−j]，且f[0]=1f[ 



  
 

    


    
    
2018.12.30 洛谷P4238 【模板】多項式求逆

     
  
 
  
  
 傳送門 多項式求逆模板題。 簡單講講？ 
 多項式求逆 
  
  定義： 對於一個多項式
      
       
        
         
          A
         
         
          (
         
         
 



  
 

    


    
    
【BZOJ3625】【codeforces438E】小朋友和二叉樹 生成函數+多項式求逆+多項式開根

     
 ==   reverse   turn   chang   一個   函數   span   化簡   amp   首先，我們構造一個函數$G(x)$，若存在$k∈C$,則$[x^k]G(x)=1$。
不妨設$F(x)$為最終答案的生成函數，則$[x^n]F(x)$即為權值為$n$的神犇二叉樹個數