圖論經典演算法(通俗易懂）：最短路徑和最小生成樹
阿新 • • 發佈：2018-12-29
一、最短路問題
求圖的最短路問題，幾乎是圖論的必學內容，而且在演算法分析與設計中也會涉及。很多書上內容，
實在沒法看，我們的圖論教材，更是編的非常糟糕，吐槽，為啥要用自己學校編的破教材，不過據說
下一屆終於要換書了。
言歸正傳，開始說明最短路問題。
1.問題描述：
對一幅圖G，我們對每一條邊賦權w(e)，成為一個賦權圖。H是G的一個子圖，則W(H) = sigma(w(e)),
也就是對每條邊的權求和。尋找從一個點a到另一個b的一個子圖，使得權和最小，即為最短路問題。
2.演算法描述：
Dijkstra(迪傑斯特拉演算法演算法)：
我表示看到後，是懵逼的，接下來詳細分析下。
演算法圖解:
其實就是不斷求一個點集合中的每個點，和與他相鄰點最短路的最小值。我們還是從例項出發，更
容易講解。我會把上述步驟，拆解為多步。
我們求下面這個圖從A到L的最短路。
- 第一步：
令a1 = A(便於標記),t(a1) = 0(表示點a1到a的最短路)，S={a1}(被選擇的點的集合)，T = 0
(空集 表示被選擇的最短路的邊集)。
- 第二步：
求與S中的點a1與他相鄰的點的距離d，取點a2 = C使得距離最小。令S={a1,a2}，T={AC}。
- 第三步：
重複第二步，求S中的點a1,a2的相鄰點中(去除已選擇點)，距離最小的那個，則為AB，CE。
再取AB，CE中權和最小的一個，B，所以a3=B,令S={a1,a2,a3}，T={AC,AB}。 - ……
持續下去，不斷尋找，S集合中的每個點與他相鄰點的最小距離，然後再這些最小距離中找到最小的
那個加入到S中，同時加入相應的邊。
直到到達終點L為止。最後得到的最短路為：
此演算法是多項式時間可求解的，
關於演算法的實現可以在參考資料中找到。
二、最小生成樹
問題描述
同樣在一個連通賦權圖中，尋找一顆生成樹使得權和最小。
此演算法比較簡單，很容易理解。
演算法描述：
Kruskal演算法：
不斷尋找最小權的邊即可。
比如，尋找下圖的最小生成樹。
結果如下
