Description

硬幣購物一共有4種硬幣。面值分別為c1,c2,c3,c4。某人去商店買東西，去了tot次。每次帶di枚ci硬幣，買si的價值的東西。請問每次有多少種付款方法。

Input

第一行 c1,c2,c3,c4,tot 下面tot行 d1,d2,d3,d4,s

Output

每次的方法數

Sample Input

1 2 5 10 2
3 2 3 1 10
1000 2 2 2 900

Sample Output

4
27

HINT

資料規模 di,s<=100000 tot<=1000

題解

簡明瞭來說就是不可以重複使用的01揹包問題。用dp預處理完之後再用容斥原理減值或者加值。
設dp[i]為“不限制硬幣”下的最多方法數，那麼狀態轉移方程就是dp[j]=dp[j]+dp[j-c[i]]。
解決完這些後，我們來看容斥原理
設第1枚硬幣超過最大值，也就是大於攜帶的數量。那麼就要將總方案數減去第一枚硬幣超過最大值的方案，以此類推。那麼按照容斥定理，單數的我們就要減去，雙數我們就要加上。這樣就能得出正確答案啦~
PS：第一次寫部落格，不好之處敬請諒解啊~喵~

程式碼1:暴力for迴圈與if版本

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
LL f[110000];
LL c[110000],d[110000];
/*
    f[i]表示了！不限制！硬幣數目的最多付款方法 
    那麼只需將f[tot]的和減去d1超過的限制數-d2超過-d3-d4-(d1與d2)……-(d1+d2+d3+d4)就行了
    硬幣d1超過限制時，需要減去的就是 
*/
 

int main()
{
    freopen("coins.in","r",stdin);
    freopen("coins.out","w",stdout);
    LL T,tot;
    for(int i=1;i<=4;i++)scanf("%lld",&c[i]);
    scanf("%lld",&T);
    memset(f,0,sizeof(f));f[0]=1;
    //打表，把1 ~ 100000的全部情況都列出來 
    for(int i=1;i<=4;i++)for(int j=c[i];j<=100000;j++)f[j]+=f[j-c[i]];
    while
 
(T--)
    {
        for(int i=1;i<=4;i++){scanf("%d",&d[i]);d[i]++;}
        scanf("%lld",&tot);
        LL ans=f[tot];
        for(int i=1;i<=4;i++)if(tot>=d[i]*c[i])ans-=f[tot-d[i]*c[i]];
        for(int i=1;i<=3;i++)for(int j=i+1;j<=4;j++)if(tot>=d[i]*c[i]+d[j]*c[j])ans+=f[tot-d[i]*c[i]-d[j]*c[j]];
        for(int i=1;i<=2;i++)for(int j=i+1;j<=3;j++)for(int k=j+1;k<=4;k++)if(tot>=d[i]*c[i]+d[j]*c[j]+d[k]*c[k])ans-=f[tot-d[i]*c[i]-d[j]*c[j]-d[k]*c[k]];
        if(tot>=d[1]*c[1]+d[2]*c[2]+d[3]*c[3]+d[4]*c[4])ans+=f[tot-d[1]*c[1]-d[2]*c[2]-d[3]*c[3]-d[4]*c[4]];
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}

程式碼2:DFS求和版本

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
LL f[110000];
LL c[110000],d[110000];LL ans=0;
/*
    f[i]表示了！不限制！硬幣數目的最多付款方法 
    那麼只需將f[tot]的和減去d1超過的限制數-d2超過-d3-d4-(d1與d2)……-(d1+d2+d3+d4)就行了
    硬幣d1超過限制時，需要減去的就是 
*/
void dfs(LL x,LL k,LL sum)
{
    if(sum<0)return ;//需要求的值小於0時，直接return
    if(x==5)//4種硬幣全部求完啦
    {
        if(k%2==1)ans-=f[sum];//單數減
        else ans+=f[sum];//雙數加
        return ;
    }
    dfs(x+1,k+1,sum-d[x]*c[x]);//我們讓第x種超限
    dfs(x+1,k,sum);//再讓x種不超限，兩種都嘗試
}
int main()
{
    freopen("coins.in","r",stdin);
    freopen("coins.out","w",stdout);
    LL T,tot;
    for(int i=1;i<=4;i++)scanf("%lld",&c[i]);
    scanf("%lld",&T);
    memset(f,0,sizeof(f));f[0]=1;
    //打表，把1 ~ 100000的全部情況都列出來 
    for(int i=1;i<=4;i++)for(int j=c[i];j<=100000;j++)f[j]+=f[j-c[i]];
    while(T--)
    {
        for(int i=1;i<=4;i++){scanf("%d",&d[i]);d[i]++;}
        scanf("%lld",&tot);
        ans=0;dfs(1,0,tot);
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}