最長公共子問題

待解決問題：

    給定兩個序列Ｘ和Ｙ，求其一個最長公共的序列Ｚ。

    補充解釋：X(m)={x1, x2,,,,,xm}，Ｙ(n)={y1, y2,,,,,yn}，Ｘ和Ｙ可以有共同的元素，Ｚ是這些共同元素的集合，其元素順序在ＸＹＺ中都是升序排序的（Z中元素的順序不能在X,Y中出現前後顛倒的情況）。

    例子：X={A,B,C,B, D,A, B}，Y={B, D,C, A,B,A}，那麼序列{B, C, B, A}是Ｘ和Ｙ的最長公共子序列。{B, C, A}也是Ｘ和Ｙ的子序列，但它不是最長的。

窮舉法

        最常見的方法就是窮舉法，它的思路是：分別列舉出Ｘ和Ｙ的所有序列，接著比較Ｘ和Ｙ的所有子序列，選擇公共序列，最後選擇長度最長的公共序列，這個公共序列就是我們要求的最長公共子序列。

子結構分析：

        我們發現，如果X和Y的長度都很短（假設長度都為1），我們很容易得出最優解，但是事實往往是很殘酷的。如果給定一組長度很長的X,Y，我們利用分治策略的思路，能不能從X和Y的子段中一步一步得出答案呢？

        分治策略和動態規劃第一步都需要刻畫最優解的結構。下面先來看一下最長公共子序列最優解的結構。

        假設X(m) = {x1, x2.....xm} 和 Y(n) = {y1, y2....yn}的最長公共子序列為Z = {z1, z2....zk}，現在考慮一下X(m-1)和Y(n-1)的最優解和Z之間的關係。

            1.如果X和Y的最後一個元素相等，並且等於Z的最後一個元素，那麼說明Z(k-1)是X(m-1)和Y(n-1)的公共子序列

            2.如果xm != yn，並且xm和yn也不等於zk，那麼，Z是X(m-1)和Y(n-1)的公共子序列

            3.如果xm != yn，zk = xm ！= yn，那麼Z是X(m)Y(n-1)的最長公共子序列

            4.如果xm != yn，zk = yn ！= xm，那麼Z是X(m-1)Y(n)的最長公共子序列

        在分析了X(m),Y(n)的解的結構之後，再於x(m-1),y(n-1)的解結構作對比，我們可以發現：Ｚ被分類到以上三種情況的哪一種，主要取決於X,Y的最後一個元素是否相等，所以我們可以歸納出一個遞迴函式：

            定義：c[i][j]為X(i)和Y(j)的最長公共序列(i <= m, j <= n)

            判斷退出遞迴條件：如果 i 和 j 有一個等於０，可以立即得出並返回結果：當前兩個子序列的最長公共子序列長度為０。

            比對當前X,Y的最後一個元素。

                如果Xi = Yj，那麼返回結果：c[i][j] = c[i -1 ][j - 1] + 1

                如果Xi != Yj，那麼返回結果：max{ c[i][j - 1], c[i - 1][j] }

        在這個遞迴函式裡，我們每次在求c[i][j]的時候，需要使用c[i-1][j-1]等形式的值，我們一開始是不知道的。例如現在我們要求c[5][4]，我在這層函式裡發現需要使用c[4][4]的值，我現在不知道，怎麼辦呢？我們只需要建立一個同樣的函式，並且把(4, 4)這兩個引數送給它就行了，同樣，這個新函式也可能不會直接知道c[4][3]的值，這個新函式可以再建立個同樣的函式，把(4, 3)送進去就行了....直到再建立的函式遇到了退出遞迴的條件，並且向上返回了0這個值。上一層函式拿到這個0值做一次處理之後再向上返回到上一層函式....

動態規劃

        程式碼如下

求解例題c[7][6，]矩陣構造方法及過程

    1.把序列分別按橫向和豎向填入矩陣的第一行和第一列

    2.比對第一行和第一列單元格所對應的兩個字母(黃色區域)，字母不同填入前面（或者上面）的數字，字母相同則填入（前面的數字+1），但不得超過這個單元格的行數和列數最小的那一個。

    3.依次按行或按列填入數字。如果單元格對應的字母不同，填入這個單元格正上方和正前方最大的那一個；如果字母相同，填入（這個單元格正上方和正前方最大的數+1），但不得超過行數和列數最小值。

      從矩陣右下角開始往左上角尋找+1的記錄，例題矩陣中被塗成了紅色。每尋找到一個+1的單元格，記錄對應的字母並且刪除該單元格右方和下方所有的單元格。此題有兩個解，分別是{B，C，A，B}和{B，C,  B, A}