二分圖的基本知識
二分圖基礎知識
昨天晚上開始看二分圖，到現在基本的東西學會了
我就寫一下我自己的理解
首先什麼是二分圖
顧名思義就是能分成兩個部分的圖
要注意的是，‘分’的是點
並且這兩個集合（這裡我們稱作X集合和Y集合）內部所有的點之間沒有邊相連，也就是說X集合中任何兩點之間都不會有邊相連， Y亦然
定理1：無向圖G為二分圖的一個衝要條件是 1、G中至少包含兩個頂點 2、G中所有的迴路長度都必須是偶數
接下來是一些概念：
匹配：設G=<V, E>為二分圖，如果 M⊆E，並且 M 中沒有任何兩邊有公共端點，則成M為G的一個匹配。【也就是說匹配的實質是一些邊的集合。】
最大匹配：邊數最多的匹配
完備匹配與完全匹配：若 X 中所有的頂點都是匹配 M 中的端點。則稱 M 為X的完備匹配。 若M既是 X-完備匹配又是 Y-完備匹配，則稱M 為 G 的完全匹配。
最小點覆蓋：用盡可能少的點去覆蓋所有的邊【最小點覆蓋集是點的集合，其個數為最小點覆蓋數】
最大點獨立：跟網路流中的最大點權獨立集有點類似，這裡指的是最大獨立的個數
接下來是二分圖的一些性質：
設無向圖G有n個頂點，並且沒有孤立頂點，那麼，
1、點覆蓋數 + 點獨立數 = n
2、最小點覆蓋數 = 二分圖的最大匹配
3、最大點獨立數 = n - 最小點覆蓋數 = n - 最大匹配
二分圖的判定：
判斷一個圖是不是二分圖有兩條1、n>= 2 2、不存在奇圈
我們可以用黑白染色的方法進行判斷
const int maxn = 105; int col[maxn]; bool is_bi(int u) { for(int i = 0; i < G[u].size(); i++) { int v = G[u][i]; if(col[v] == col[u]) return false; if(!col[v]) { col[v] = 3 - col[u]; if(!is_bi(v)) return false; } } return true; }
接下來介紹一下求二分圖最大匹配的匈牙利演算法。
匈牙利演算法的思想是這樣的：如果一個圖中存在增廣路，那麼沿著這條路增廣，匹配就會加1，知道不存在增廣路為止
這裡的增廣路是這麼定義的：對於一個未匹配或已經匹配好一部分的G來說
在X集合中的未匹配點出發，依次經過未匹配邊匹配邊未匹配邊匹配邊……而終點落在Y中的一個未訪問點上，那麼只要將該路上的匹配邊於未匹配邊調換，那麼新的匹配必將比原來的匹配多1，【詳細見http://blog.csdn.net/xuguangsoft/article/details/7861988中的圖】//如果不理解可以看劉汝佳大白書，一會動手模擬一下程式即可
下面是匈牙利演算法的鄰接矩陣和鄰接表程式
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
const int maxn = 105;
const int INF = 1000000000;
bool vis[maxn];//查詢右集合中的點有沒有被訪問過
int link[maxn];//link[i]表示右集合中的i點是由左集合中的哪個點連線的
int G[maxn][maxn];//鄰接矩陣
int x_cnt; int y_cnt;//左右集合的點的個數
bool find(int u) {//用來尋找增廣路
for(int i = 1; i <= y_cnt; i++) {//遍歷右集合中的每個點
if(!vis[i] && G[u][i]) {//沒有被訪問過並且和u點有邊相連
vis[i] = true;//標記該點
if(link[i] == -1 || find(link[i])){ //該點是增廣路的末端或者是通過這個點可以找到一條增廣路
link[i] = u;//更新增廣路 奇偶倒置
return true;//表示找到一條增廣路
}
}
}
return false;//如果查找了右集合裡的所有點還沒找到通過該點出發的增廣路，該點變不存在增廣路
}
int solve() {
int num = 0;
memset(link, -1, sizeof(link));//初始化為-1表示 不與左集合中的任何元素有link
for(int i = 1; i <= x_cnt; i++) {//遍歷左集合
memset(vis, false, sizeof(vis));//每一次都需要清除標記
if(find(i)) num++;//找到一條增廣路便num++
}
return num;
}
匈牙利演算法--鄰接矩陣#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
const int maxn = 33;
const int INF = 1000000000;
struct Node {
int to;
int next;
}q[MaxEdge];
struct MaxMatch() {
int head[MaxEdge];
int tot;
int vis[Y_cnt];
int link[Y_cnt];
void init(int x_cnt) {
this -> x_cnr = x_cnt;
tot = 0;
}
void AddEdge(int u, int v) {
q[tot].to = v;
q[tot].next = head[u];
head[u] = tot ++;
}
bool find(int u) {
for(int i = head[u]; i; i = q[i].next) {
int v = q[i].to;
if(!vis[v]) {
vis[v] = 1;
if(link[v] == -1 || find(link[v])) {
link[v] = u;
return true;
}
}
}
return false;
}
int Match() {
int num = 0;
memset(link, -1, sizeof(link));
for(int i = 0; i < x_cnt; i++) { // ±éÀú×󼯺Ï
memset(vis, 0, sizeof(vis));
if(find(X[i])) num++;
}
return num;
}
};
匈牙利演算法--鄰接表可以用HDU2063熟悉模板
下面也是最重要也是最難理解的二分圖的最佳匹配
上面介紹的匈牙利演算法只能求出匹配邊的條數，現在我們來加個條件：讓二分圖的每個邊上都加一個權值
現在讓你求出最大（最小）權值的匹配
這裡有個常用演算法--KM演算法
首先要引入一個概念：可行頂標。
設頂點 Xi 的頂標為 lx[i]，頂點 Yj 的頂標為 ly[j]，頂點 Xi 與 Yj 之間的邊權為 w[i][j] 。在演算法執行過程中的任一時刻，對於任一條邊 (i,j)，lx[i]+ly[j]>=w[i,j] 始終成立。
那麼Lx[i] 為i可行頂標，Ly[j]為j的可行頂標
從這個角度考慮，如果滿足lx[i]+ly[j]==w[i][j]的條件下的一個子圖中存在一個完美匹配的話，那麼這個匹配就一定是原圖的最大全匹配
證明：由於該匹配的可行頂標之和等於匹配的權值之和，而由於lx[i]+ly[j]>=w[i,j]其它的所有匹配的防方案權值一定會小於頂標之和。
所以問題就轉化成了通過修改可行頂標，求得最理想的匹配。
KM演算法調整的方法是： 根據最後一次不成功的尋找交錯路的 DFS，取所有 i 頂點被訪問到而 j 頂點沒被訪問到的邊 (i,j) 的 lx[i]+ly[j]-w[i][j] 的最小值 d。將交錯樹中的所有左端點的頂標減小d，右端點的頂標增加 d。
經過這樣的調整以後： 原本在匯出子圖裡面的邊，兩邊的頂標都變了，不等式的等號仍然成立，仍然在匯出子圖裡面；原本不在匯出子圖裡面的邊，它的左端點的頂標減小了，右端點的頂標沒有變，而且由於 d 的定義，不等式仍然成立，所以他就可能進入了匯出子圖裡，這樣經過不斷的調整，最後就可以找到 一個有完美匹配的匯出子圖（原圖的完備匹配），也就求出了該圖的最大權匹配。
程式碼是劉汝佳大白書上抄的：
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int maxn = 500 + 10;
const int INF = 1000000000;
int W[maxn][maxn], n;
int Lx[maxn], Ly[maxn]; // 頂標
int left[maxn]; // left[i]為右邊第i個點的匹配點編號
bool S[maxn], T[maxn]; // S[i]和T[i]為左/右第i個點是否已標記
bool match(int i) {
S[i] = true;
for(int j = 1; j <= n; j++) if (Lx[i]+Ly[j] == W[i][j] && !T[j]){
T[j] = true;
if (!left[j] || match(left[j])){
left[j] = i;
return true;
}
}
return false;
}
void update() {
int a = INF;
for(int i = 1; i <= n; i++) if(S[i])
for(int j = 1; j <= n; j++) if(!T[j])
a = min(a, Lx[i]+Ly[j] - W[i][j]);
for(int i = 1; i <= n; i++) {
if(S[i]) Lx[i] -= a;
if(T[i]) Ly[i] += a;
}
}
void KM() {
for(int i = 1; i <= n; i++) {
left[i] = Lx[i] = Ly[i] = 0;
for(int j = 1; j <= n; j++)
Lx[i] = max(Lx[i], W[i][j]);
}
for(int i = 1; i <= n; i++) {
for(;;) {
for(int j = 1; j <= n; j++) S[j] = T[j] = false;
if(match(i)) break; else update();
}
}
}
KM鄰接矩陣版--劉汝佳#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int maxn = 500 + 5; // 頂點的最大數目
const int INF = 1000000000;
// 最大權匹配
struct KM {
int n; // 左右頂點個數
vector<int> G[maxn]; // 鄰接表
int W[maxn][maxn]; // 權值
int Lx[maxn], Ly[maxn]; // 頂標
int left[maxn]; // left[i]為右邊第i個點的匹配點編號，-1表示不存在
bool S[maxn], T[maxn]; // S[i]和T[i]為左/右第i個點是否已標記
void init(int n) {
this->n = n;
for(int i = 0; i < n; i++) G[i].clear();
memset(W, 0, sizeof(W));
}
void AddEdge(int u, int v, int w) {
G[u].push_back(v);
W[u][v] = w;
}
bool match(int u){
S[u] = true;
for(int i = 0; i < G[u].size(); i++) {
int v = G[u][i];
if (Lx[u]+Ly[v] == W[u][v] && !T[v]){
T[v] = true;
if (left[v] == -1 || match(left[v])){
left[v] = u;
return true;
}
}
}
return false;
}
void update(){
int a = INF;
for(int u = 0; u < n; u++) if(S[u])
for(int i = 0; i < G[u].size(); i++) {
int v = G[u][i];
if(!T[v]) a = min(a, Lx[u]+Ly[v] - W[u][v]);
}
for(int i = 0; i < n; i++) {
if(S[i]) Lx[i] -= a;
if(T[i]) Ly[i] += a;
}
}
void solve() {
for(int i = 0; i < n; i++) {
Lx[i] = *max_element(W[i], W[i]+n);
left[i] = -1;
Ly[i] = 0;
}
for(int u = 0; u < n; u++) {
for(;;) {
for(int i = 0; i < n; i++) S[i] = T[i] = false;
if(match(u)) break; else update();
}
}
}
};
KM鄰接表版--劉汝佳原創的作者