Description

求Cnmod3814697265625(518)其中Cn為卡特蘭數第n項
n<=10^18,T<=10

Solution

這麼大的組合數取模啊。。。。以前真沒見過
首先我們知道Ans=Cn2nn+1
根據套路我們只需要把n!寫成5^e*f的形式，然後就可以用逆元直接算了
但是如何計算？
首先我們把所有5的倍數提取出來，那麼有⌊n5⌋個5，並且剩下的數變成了⌊n5⌋!
這樣就可以遞迴下去計算了
那麼如何處理剩餘的部分？
我們在處理乘法的時候忽略5的倍數，設L=m−−√o=59，那麼我們相當於要求

但是這樣只能處理n<=mo的情況，n>mo的情況處理不了，怎麼辦呢？
我們發現n>mo的時候我們可以把1~n的數按mo分類，其中每一組在模意義下都是同餘的
這樣直接快速冪計算即可
總複雜度O(L+T log^2N)

Code

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef double db;
const ll mo=3814697265625;
const int L=1953125;
struct note{
    int e;ll f;
    note(int _e=0,ll _f=0) {e=_e;f=_f;}
};
ll f[L][2
 
],sum[L],n;
ll mult(ll a,ll b) {
    ll a1=a/L,b1=a%L,a2=b/L,b2=b%L;
    ll tmp=a1*a2%mo*L%mo*L%mo;
    (tmp+=a1*L%mo*b2%mo)%=mo;
    (tmp+=a2*L%mo*b1%mo)%=mo;
    (tmp+=b1*b2%mo)%=mo;
    return tmp;
}
ll mi(ll x,ll y) {
    ll z=1;
    for(;y;y/=2,x=mult(x,x))
        if (y&1) z=mult(z,x);
    return z;
}
ll F(ll n) {
    ll a=n/L,b=n%L,ans=1;
    if (a) ans=mult(ans,sum[a-1]);
    ans=mult(ans,(mult(mult(f[b][1],a),L)+f[b][0])%mo);
    return ans;
}
note solve(ll n) {
    if (!n) return note(0,1);
    note x=solve(n/
 
(ll)5),ans;
    if (n>mo) {
        ll a=n/mo,b=n%mo;
        ans.f=mult(x.f,mult(mi(F(mo),a),F(b)));
    } else ans.f=mult(x.f,F(n));
    ans.e=(ll)(x.e+n/(ll)5)%18;
    return ans;
}
void exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y) {
    if (!b) {
        x=1;y=0;
        return;
    }
    ll xx,yy;
    exgcd(b,a%b,xx,yy);
    x=yy;y=xx-a/b*yy;
}
ll get_inv(ll x) {
    ll a,b;
    exgcd(x,mo,a,b);
    return ((a%=mo)+=mo)%=mo;
}
int main() {
    freopen("catalan.in","r",stdin);
    freopen("catalan.out","w",stdout);
    f[0][0]=1;
    fo(i,1,L-1) {
        if (!(i%5)) {
            f[i][0]=f[i-1][0];
            f[i][1]=f[i-1][1];
            continue;
        }
        f[i][0]=mult(f[i-1][0],(ll)i);
        f[i][1]=(f[i-1][0]+mult(f[i-1][1],(ll)i))%mo;
    }
    sum[0]=f[L-1][0];
    fo(i,1,L-1) sum[i]=mult(sum[i-1],(mult(mult(f[L-1][1],(ll)i),(ll)L)+f[L-1][0])%mo);
    int ty;
    for(scanf("%d",&ty);ty;ty--) {
        scanf("%lld",&n);

        note a=solve(2*n);
        note b=solve(n);
        (a.e+=18-2*b.e%18)%=18;
        ll ni=get_inv(b.f);
        a.f=mult(a.f,mult(ni,ni));

        ll nn=n+1;
        for(;!(nn%5);nn/=5) (a.e+=17)%=18;
        a.f=mult(a.f,get_inv(nn));

        ll c=mult(a.f,mi(5,a.e));
        printf("%lld\n",c);
    }
}