原題地址

求出給定數字串的最大子串和，以及這個最大子串和的首尾元素。（若有多個最大子串則取最靠左的那個）

解題思路

本題基本上是最大子串和的裸題，只是增加了一個輸出首尾元素的要求。

最大子串和描述：輸入一個整數序列，求出其中連續子序列和的最大值。

最大子串和幾種解法：

• 複雜度O(n^3)：窮舉所有可能的首尾子串組合，用i和j迴圈確定首尾，k迴圈累加這之間的數，如果這個組合的累加大於記錄過的maxSum則更新。**
• 複雜度O(n^2)：窮舉優化版，只用i迴圈確定子串的首個數，j迴圈不斷延長這個子串，延長的同時累加，如果在累加的某一刻大於了maxSum則更新。
• 複雜度O(n^2)：分治法
  ，將序列分成左右兩部分，分別遞迴求出左，右後，再求跨越中界的最大子序列和。求跨越序列時一直從中間向左/右走到底的同時累加，如果在累加的某一刻大於了maxSum則更新。
• 複雜度O(n)：聯機演算法，只掃描一遍序列，掃描的同時做累加。判斷累加當前元素後的thisSum，如果比記錄過的maxSum大則更新，如果比maxSum小且為負，那麼丟棄構成thisSum的子串，從下一個元素開始另起一個子串。

本題處理

對於這道題我嘗試了O(n)和O(n^2)的方法都可以過，前者耗時13ms後者耗時48ms，資料量小時都已經看得出一些差距了。

需要注意的點：

• 由於要求輸出首尾元素，那麼就需要記錄下標maxStart和maxEnd，在處理每個子串時，需要nowStart和nowEnd的輔助來更新這兩者。
• 元素全為正：只要和now有關的變數都初始化為0即可。
• 元素全為負：題目要求輸出0和最前最尾元素，negative在讀入時判斷有沒有負數。
• 最大子串只是一個0，那麼maxSum就不能初始化為0，否則無法更新，因此要初始化為負數而且只能是-1，可以在初始化為-999時測試-1 0 2 3就看得出來問題。

AC程式碼

#include <iostream>
using namespace std;

const int maxn = 10005;
int a[maxn];

void maxSubstrSum_n(int n) ///O(n)的聯機演算法
{
    bool negative = true
 
; //判斷陣列是否全為負數
    for (int i = 0; i<n; ++i)
    {
        cin >> a[i];
        //出現非負數，注意要有等號！有0時，最大值可能為0
        if(a[i] >= 0) negative = false;
    }
    if (negative) //全為負數
    {
        cout << 0 << ' ' << a[0] << ' ' << a[n-1];
        return;
    }
    //最大值可能是0，maxSum置為-1才會更新（不能置為-999）
    int maxSum = -1, maxStart, maxEnd;
    int nowSum = 0, nowStart = 0, nowEnd = 0;
    ///核心程式碼
    for (int i = 0; i<n; ++i)
    {
        nowSum += a[i];
        if (nowSum > maxSum) //比之前的maxSum大時更新，由於保留第一組所以不取等號
        {
            maxSum = nowSum; //更新最大值
            nowEnd = i; //延伸當前串
            maxStart = nowStart; //更新起始位置
            maxEnd = nowEnd;
        }
        else if (nowSum < 0) //nowSum比maxSum小且為負，另起一個長度為1的子串
        {
            nowSum = 0;
            nowStart = nowEnd = i+1; //從下一個數開始
        }
    }
    cout << maxSum << ' ' << a[maxStart] << ' ' << a[maxEnd];
}

void maxSubstrSum_n2(int n) ///O(n^2)的遍歷演算法
{
    bool negative = true;
    for (int i = 0; i < n; ++i)
    {
        cin >> a[i];
        //出現非負數，注意要有等號！有0時，最大值可能為0
        if (a[i] >= 0) negative = false;
    }
    if(negative) //全為負數
    {
        cout << 0 << ' ' << a[0] << ' ' << a[n-1]<< endl;
        return ;
    }
    int maxSum = -1, maxStart = 0, maxEnd = n-1;
    for (int i = 0; i<n; ++i)
    {
        int nowSum = 0; //記錄著以i為起始的所有子串和
        for (int j = i; j<n; ++j)
        {
            nowSum += a[j]; //i...j
            if (nowSum > maxSum) //更新maxSum
            {
                maxSum = nowSum;
                maxStart = i;
                maxEnd = j;
            }
        }
    }
    cout << maxSum << ' ' << a[maxStart] << ' ' << a[maxEnd] << endl;
}


int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    //maxSubstrSum_n(n);
    maxSubstrSum_n2(n);
    return 0;
}