模擬退火演算法原理

爬山法是一種貪婪的方法，對於一個優化問題，其大致影象(影象地址)如下圖所示：

其目標是要找到函式的最大值，若初始化時，初始點的位置在C處，則會尋找到附近的區域性最大值A點處，由於A點出是一個區域性最大值點，故對於爬山法來講，該演算法無法跳出區域性最大值點。若初始點選擇在D處，根據爬山法，則會找到全部最大值點B。這一點也說明了這樣基於貪婪的爬山法是否能夠取得全域性最優解與初始值的選取由很大的關係。

模擬退火演算法(Simulated Annealing, SA)的思想借鑑於固體的退火原理，當固體的溫度很高的時候，內能比較大，固體的內部粒子處於快速無序運動，當溫度慢慢降低的過程中，固體的內能減小，粒子的慢慢趨於有序，最終，當固體處於常溫時，內能達到最小，此時，粒子最為穩定。模擬退火演算法便是基於這樣的原理設計而成。

模擬退火演算法從某一較高的溫度出發，這個溫度稱為初始溫度，伴隨著溫度引數的不斷下降，演算法中的解趨於穩定，但是，可能這樣的穩定解是一個區域性最優解，此時，模擬退火演算法中會以一定的概率跳出這樣的區域性最優解，以尋找目標函式的全域性最優解。如上圖中所示，若此時尋找到了A點處的解，模擬退火演算法會以一定的概率跳出這個解，如跳到了D點重新尋找，這樣在一定程度上增加了尋找到全域性最優解的可能性。

模擬退火演算法

模擬退火演算法過程

(1)隨機挑選一個單元k，並給它一個隨機的位移，求出系統因此而產生的能量變化ΔEk。
(2)若ΔEk⩽0，該位移可採納，而變化後的系統狀態可作為下次變化的起點；
若Δ

模擬退火演算法流程

模擬退火演算法的Java實現

求解函式最小值問題：

Java程式碼

package sa;

/**
 * 實現模擬退火演算法
 * @author zzy
 *Email:
 
[email protected]
 */
public class SATest {
    public static final int T = 100;// 初始化溫度
    public static final double Tmin = 1e-8;// 溫度的下界
    public static final int k = 100;// 迭代的次數
    public static final double delta = 0.98;// 溫度的下降率

    public static double getX() {
        return Math.random() * 100;
    }

    /**
     * 求得函式的值
     * 
     * @param x目標函式中的一個引數
     * @param y目標函式中的另一個引數
     * @return函式值
     */
    public static double getFuncResult(double x, double y) {
        double result = 6 * Math.pow(x, 7) + 8 * Math.pow(x, 6) + 7
                * Math.pow(x, 3) + 5 * Math.pow(x, 2) - x * y;

        return result;
    }

    /**
     * 模擬退火演算法的過程
     * @param y目標函式中的一個引數
     * @return最優解
     */
    public static double getSA(double y) {
        double result = Double.MAX_VALUE;// 初始化最終的結果
        double t = T;
        double x[] = new double[k];
        // 初始化初始解
        for (int i = 0; i < k; i++) {
            x[i] = getX();
        }
        // 迭代的過程
        while (t > Tmin) {
            for (int i = 0; i < k; i++) {
                // 計算此時的函式結果
                double funTmp = getFuncResult(x[i], y);
                // 在鄰域內產生新的解
                double x_new = x[i] + (Math.random() * 2 - 1) * t;
                // 判斷新的x不能超出界
                if (x_new >= 0 && x_new <= 100) {
                    double funTmp_new = getFuncResult(x_new, y);
                    if (funTmp_new - funTmp < 0) {
                        // 替換
                        x[i] = x_new;
                    } else {
                        // 以概率替換
                        double p = 1 / (1 + Math
                                .exp(-(funTmp_new - funTmp) / T));
                        if (Math.random() < p) {
                            x[i] = x_new;
                        }
                    }
                }
            }
            t = t * delta;
        }
        for (int i = 0; i < k; i++) {
            result = Math.min(result, getFuncResult(x[i], y));
        }
        return result;
    }

    public static void main(String args[]) {
        // 設定y的值
        int y = 0;
        System.out.println("最優解為：" + getSA(y));
    }

}

最後的結果

最優解為：1.733360963664572E-16