一、什麼是最長公共子序列？

   公共子序列：字元序列的子序列是指從給定字元序列中隨意地（不一定連續）去掉若干個字元（可能一個也不去掉）後所形成的字元序列。令給定的字元序列X=“x0，x1，…，xm-1”，序列Y=“y0，y1，…，yk-1”是X的子序列，存在X的一個嚴格遞增下標序列<i0，i1，…，ik-1>，使得對所有的j=0，1，…，k-1，有xij=yj。例如，X=“ABCBDAB”，Y=“BCDB”是X的一個子序列。（子序列Y中的字元在X中不一定是連續的。

   最長公共子序列：找到的所有子序列中，字元最長的序列。

二、如何求解？

       方法一：窮舉法：列出X的所有子序列，一一檢查是否是Y的子序列，記錄所發現的公共子序列，最終求出最長公共子序列

       無疑，方法一是很費時費力的；

       方法二：刻畫最長公共子序列問題的最優子結構

求解：

        引進一個二維陣列c[][]，用c[i][j]記錄X[i]與Y[j] 的LCS的長度，b[i][j]記錄c[i][j]是通過哪一個子問題的值求得的，以決定搜尋的方向。

        我們是自底向上進行遞推計算，那麼在計算c[i,j]之前，c[i-1][j-1]，c[i-1][j]與c[i][j-1]均已計算出來。此時我們根據X[i]= Y[j]還是X[i] != Y[j]，就可以計算出c[i][j]。

         問題的遞迴式寫成：

這個遞迴式可以解釋為：

     1、當比較不開始時，兩個序列沒有公共序列；

     2、當兩個序列比較時，比較的兩個字元相同，公共序列的長度為前一個已經計算出的公共序列的長度+1；

     3、當兩個序列比較時，比較的兩個字元不同，公共序列的長度有兩個，分別是兩個序列在前一個狀態下所求出的公共序列的長度，要這兩個公共序列中最長的一個。

注意，這裡c[i][j]是公共序列的長度，不是具體的公共序列，以二維陣列的方式儲存，i和j可以看做是在座標系中的橫縱座標。

Java程式碼如下：

Public class LCSProblem
{
	/**
	 *初始化
	**/
	
	publicstaticvoidmain(String[]args)
	{
		String[]x={"","A","B","C","B","D","A","B"};   //初始化序列X；
		String[]y={"","B","D","C","A","B","A"};       //初始化序列Y；
		int[][]b=getLength(x,y);                      //將兩個序列的最長公共序列的長度值記錄在二維陣列b中；
		Display(b,x,x.length-1,y.length-1);           //輸出；
	
	/**
	 *計算最長公共子序列的長度
	**/
	Public static int[][]getLength(String[]x,String[]y)
	{
		int[][]b=new int[x.length][y.length];         //初始化陣列b，記錄c[i][j]是通過哪一個子問題的值求得的，以決定搜尋的方向。
		int[][]c=new int[x.length][y.length];         //初始化陣列c，記錄X[i]與Y[j] 的LCS 的長度。
		
		//填充矩陣
		for(int i=1;i<x.length;i++)
		{
			for(int j=1;j<y.length;j++)
			{
				if(x[i]==y[j])
				{
					c[i][j]=c[i-1][j-1]+1;
					b[i][j]=1;   //1代表指向左上方的箭頭
				}
				elseif(c[i-1][j]>=c[i][j-1])
				{
					c[i][j]=c[i-1][j];
					b[i][j]=0;   //0代表指向上方的箭頭
				}
				else
				{
					c[i][j]=c[i][j-1];
					b[i][j]=-1;  //-1代表指向左方的箭頭
				}
			}
		}
		Return b;
	}
 

用箭頭的指向，表示序列中有公共的值時，該解是在求解哪個子問題的基礎上得來。

/**
 *輸出最長公共子序列
**/

void PrintLCS(int b[][], char x, int i, int j)
{
    if(i == 0 || j == 0)         //兩個字串中任意一個長度為0；
        return  null;
    if(b[i][j] == 1)                  //箭頭指向左上方
    {
        PrintLCS(b, x, i-1, j-1);
        printf("%c ", x[i-1]);     //輸出兩個序列相同的字元
    }
    else if(b[i][j] == 0)      //箭頭指向上方
        PrintLCS(b, x, i-1, j);
    else                                           //箭頭指向左方
        PrintLCS(b, x, i, j-1);
}

三、複雜度：

      時間複雜度：構建矩陣我們花費了O(MN)的時間，回溯時我們花費了O（M+N)的時間，兩者相加最終我們花費了O(MN)的時間。

      空間複雜度：構建矩陣我們花費了O(MN)的空間，標記函式也花費了O(MN)的空間，兩者相加最終我們花費了O(MN)的空間。

四、應用：

查重，相似度分析，查詢最長遞增子序列等；

這些應用，你有沒有想到呢？

參考資料：