大臣的旅費——第四屆藍橋杯省賽C語言A組第10題
阿新 • • 發佈：2019-01-31
問題描述
很久以前，T王國空前繁榮。為了更好地管理國家，王國修建了大量的快速路，用於連線首都和王國內的各大城市。為節省經費，T國的大臣們經過思考，制定了一套優秀的修建方案，使得任何一個大城市都能從首都直接或者通過其他大城市間接到達。同時，如果不重複經過大城市，從首都到達每個大城市的方案都是唯一的。
J是T國重要大臣，他巡查於各大城市之間，體察民情。所以，從一個城市馬不停蹄地到另一個城市成了J最常做的事情。他有一個錢袋，用於存放往來城市間的路費。
聰明的J發現，如果不在某個城市停下來修整，在連續行進過程中，他所花的路費與他已走過的距離有關，在走第x千米到第x+1千米這一千米中（x是整數），他花費的路費是x+10這麼多。也就是說走1千米花費11，走2千米要花費23。
J大臣想知道：他從某一個城市出發，中間不休息，到達另一個城市，所有可能花費的路費中最多是多少呢？
輸入格式
輸入的第一行包含一個整數n，表示包括首都在內的T王國的城市數城市從1開始依次編號，1號城市為首都。
接下來n-1行，描述T國的高速路（T國的高速路一定是n-1條）
每行三個整數Pi, Qi, Di，表示城市Pi和城市Qi之間有一條高速路，長度為Di千米。
輸出格式
輸出一個整數，表示大臣J最多花費的路費是多少。樣例輸入1
5
1 2 2
1 3 1
2 4 5
2 5 4
樣例輸出1135
輸出格式大臣J從城市4到城市5要花費135的路費。
解題思路：
該題是要求樹的直徑，即一個樹的最長簡單路。
直徑的求法：兩遍DFS (or BFS)
任選一點u為起點，對樹進行DFS遍歷，找出離u最遠的點v；
以v為起點，再進行DFS遍歷，找出離v最遠的點w。則v到w的路徑長度即為樹的直徑。
原問題可以在O(E)時間內求出
證明：對於任意點u，距離它最遠的點v一定是最長路的一端。
如果u在最長路上，那麼v一定是最長路的一端。可以用反證法：假設v不是最長路的一端，則存在另一點v’使得(u→v’)是最長路的
部分，於是len(u→v’) > len(u→v)。但這與條件“v是距u最遠的點”矛盾。
如果u不在最長路上，則u到其距最遠點v的路與最長路一定有一交點c，且(c→v)與最長路的後半段重合，即v一定是最長路的一端。
參考奇老師的程式碼：
#include<iostream> #include<vector> #include<utility> #include<queue> #include<cstring> #include<cstdio> using namespace std; #define INF 1000000009 const int N=1000005; vector<pair<int,int> > G[N]; bool visit[N]; int d[N]; void init() { memset(visit,0,sizeof(visit)); } void dfs(int u) { visit[u]=1; int size=G[u].size(); for(int i=0; i<size; i++) { int v=G[u][i].first; if(!visit[v]) { d[v]=d[u]+G[u][i].second; dfs(v); } } } int main() { int n; cin>>n; int u,v,w; for(int i=0; i<n-1; i++)//注意是n-1行資料 { scanf("%d%d%d",&u,&v,&w); G[u-1].push_back(make_pair(v-1,w)); G[v-1].push_back(make_pair(u-1,w)); } //第一遍 init(); for(int i=0; i<n; i++) d[i]=(i==0?0:INF); dfs(0); int start=0; int max=-1; for(int i=0; i<n; i++) if(d[i]>max&&d[i]!=INF) { max=d[i]; start=i; } //第二遍 init(); for(int i=0; i<n; i++) d[i]=(i==start?0:INF); dfs(start); int ans=-1; for(int i=0; i<n; i++) { if(d[i]>ans && d[i]!=INF) ans=d[i]; } ans=10*ans+ans*(ans+1)/2; cout<<ans<<endl; return 0; }