hdu 1950 Bridging signals

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最長上升子序列（LIS）的典型變形，熟悉的n^2的動歸會超時。LIS問題可以優化為nlogn的演算法。
定義d[k]:長度為k的上升子序列的最末元素，若有多個長度為k的上升子序列，則記錄最小的那個最末元素。
注意d中元素是單調遞增的，下面要用到這個性質。
首先len = 1,d[1] = a[1],然後對a[i]:若a[i]>d[len]，那麼len++，d[len] = a[i];
否則，我們要從d[1]到d[len-1]中找到一個j，滿足d[j-1]<a[i]<d[j],則根據D的定義，我們需要更新長度為j的上升子序列的最末元素（使之為最小的）即 d[j] = a[i];
最終答案就是len
利用d的單調性，在查詢j的時候可以二分查詢，從而時間複雜度為nlogn。
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在川大oj上遇到一道題無法用n^2過於是，各種糾結，最後習得nlogn的演算法

最長遞增子序列，Longest Increasing Subsequence 下面我們簡記為 LIS。
排序+LCS演算法 以及 DP演算法就忽略了，這兩個太容易理解了。

假設存在一個序列d[1..9] = 2 1 5 3 6 4 8 9 7，可以看出來它的LIS長度為5。n
下面一步一步試著找出它。
我們定義一個序列B，然後令 i = 1 to 9 逐個考察這個序列。
此外，我們用一個變數Len來記錄現在最長算到多少了

首先，把d[1]有序地放到B裡，令B[1] = 2，就是說當只有1一個數字2的時候，長度為1的LIS的最小末尾是2。這時Len=1

然後，把d[2]有序地放到B裡，令B[1] = 1，就是說長度為1的LIS的最小末尾是1，d[1]=2已經沒用了，很容易理解吧。這時Len=1

接著，d[3] = 5，d[3]>B[1]，所以令B[1+1]=B[2]=d[3]=5，就是說長度為2的LIS的最小末尾是5，很容易理解吧。這時候B[1..2] = 1, 5，Len＝2

再來，d[4] = 3，它正好加在1,5之間，放在1的位置顯然不合適，因為1小於3，長度為1的LIS最小末尾應該是1，這樣很容易推知，長度為2的LIS最小末尾是3，於是可以把5淘汰掉，這時候B[1..2] = 1, 3，Len = 2

繼續，d[5] = 6，它在3後面，因為B[2] = 3, 而6在3後面，於是很容易可以推知B[3] = 6, 這時B[1..3] = 1, 3, 6，還是很容易理解吧？ Len = 3 了噢。

第6個, d[6] = 4，你看它在3和6之間，於是我們就可以把6替換掉，得到B[3] = 4。B[1..3] = 1, 3, 4， Len繼續等於3

第7個, d[7] = 8，它很大，比4大，嗯。於是B[4] = 8。Len變成4了

第8個, d[8] = 9，得到B[5] = 9，嗯。Len繼續增大，到5了。

最後一個, d[9] = 7，它在B[3] = 4和B[4] = 8之間，所以我們知道，最新的B[4] =7，B[1..5] = 1, 3, 4, 7, 9，Len = 5。

於是我們知道了LIS的長度為5。

!!!!! 注意。這個1,3,4,7,9不是LIS，它只是儲存的對應長度LIS的最小末尾。有了這個末尾，我們就可以一個一個地插入資料。雖然最後一個d[9] = 7更新進去對於這組資料沒有什麼意義，但是如果後面再出現兩個數字 8 和 9，那麼就可以把8更新到d[5], 9更新到d[6]，得出LIS的長度為6。

然後應該發現一件事情了：在B中插入資料是有序的，而且是進行替換而不需要挪動——也就是說，我們可以使用二分查詢，將每一個數字的插入時間優化到O(logN)~~~~~於是演算法的時間複雜度就降低到了O(NlogN)～！

/*
	HDU 1950 Bridging signals
			-----最長上升子序列nlogn演算法
*/

#include<cstdio>
#include<cstring>
#define MAXN 40005

int arr[MAXN],ans[MAXN],len;

/* 
	二分查詢。 注意，這個二分查詢是求下界的;  (什麼是下界？詳情見《演算法入門經典》 P145)
	即返回 >= 所查詢物件的第一個位置（想想為什麼）

	也可以用STL的lowe_bound二分查詢求的下界
*/

int binary_search(int i){
	int left,right,mid;
	left=0,right=len;
	while(left<right){
		mid = left+(right-left)/2;
		if(ans[mid]>=arr[i]) right=mid;
		else left=mid+1;
	}
	return left;
}

int main()
{
  	freopen("input.txt","r",stdin);
	int T,p,i,j,k;
	scanf("%d",&T);
	while(T--){
		scanf("%d",&p);
		for(i=1; i<=p; ++i)
			scanf("%d",&arr[i]);
		
		ans[1] = arr[1];
		len=1;
		for(i=2; i<=p; ++i){
			if(arr[i]>ans[len])
				ans[++len]=arr[i];
			else{
				int pos=binary_search(i);   // 如果用STL： pos=lower_bound(ans,ans+len,arr[i])-ans; 
				ans[pos] = arr[i];
		}
		printf("%d\n",len);
	}
	return 0;
}