最長公共子串（Longest Common Substirng）和最長公共子序列（Longest Common Subsequence，LCS）的區別為：子串是串的一個連續的部分，子序列則是從不改變序列的順序，而從序列中去掉任意的元素而獲得新的序列；也就是說，子串中字元的位置必須是連續的，子序列則可以不必連續。

一： 作用

       最長公共子序列的問題常用於解決字串的相似度，是一個非常實用的演算法，作為碼農，此演算法是我們的必備基本功。

二：概念

     舉個例子，cnblogs這個字串中子序列有多少個呢？很顯然有2⁷個，比如其中的cb,cgs等等都是其子序列，我們可以看出

子序列不見得一定是連續的，連續的那是子串。

     我想大家已經瞭解了子序列的概念，那現在可以延伸到兩個字串了，那麼大家能夠看出：cnblogs和belong的公共子序列嗎？

在你找出的公共子序列中，你能找出最長的公共子序列嗎？

從圖中我們看到了最長公共子序列為blog，仔細想想我們可以發現其實最長公共子序列的個數不是唯一的，可能會有兩個以上，

但是長度一定是唯一的，比如這裡的最長公共子序列的長度為4。

三：解決方案

<1> 列舉法

       這種方法是最簡單，也是最容易想到的，當然時間複雜度也是龜速的，我們可以分析一下，剛才也說過了cnblogs的子序列

個數有2⁷個 ，延伸一下：一個長度為N的字串，其子序列有2^N

需要O(N)的時間，總共也就是O(N*2^N)，可以看出，時間複雜度為指數級，恐怖的令人窒息。

<2> 動態規劃

      既然是經典的題目肯定是有優化空間的，並且解題方式是有固定流程的，這裡我們採用的是矩陣實現，也就是二維陣列。

第一步：先計算最長公共子序列的長度。

第二步：根據長度，然後通過回溯求出最長公共子序列。

現有兩個序列X={x₁,x₂,x_3，...x_i}，Y={y₁,y₂,y_3，....，y_i}，

設一個C[i,j]: 儲存X_i與Y_j的LCS的長度。

遞推方程為：

不知道大家看懂了沒？動態規劃的一個重要性質特點就是解決“子問題重疊”的場景，可以有效的避免重複計算，根據上面的

公式其實可以發現C[i,j]一直儲存著當前(X_i,Y_i)的最大子序列長度。

 1 using System;
 2 namespace ConsoleApplication2
 3 {
 4     public class Program
 5     {
 6         static int[,] martix;
 7 
 8         static string str1 = "cnblogs";
 9         static string str2 = "belong";
10 
11         static void Main(string[] args)
12         {
13             martix = new int[str1.Length + 1, str2.Length + 1];
14 
15             LCS(str1, str2);
16 
17             //只要拿出矩陣最後一個位置的數字即可
18             Console.WriteLine("當前最大公共子序列的長度為:{0}", martix[str1.Length, str2.Length]);
19 
20             Console.Read();
21         }
22 
23         static void LCS(string str1, string str2)
24         {
25             //初始化邊界，過濾掉0的情況
26             for (int i = 0; i <= str1.Length; i++)
27                 martix[i, 0] = 0;
28 
29             for (int j = 0; j <= str2.Length; j++)
30                 martix[0, j] = 0;
31 
32             //填充矩陣
33             for (int i = 1; i <= str1.Length; i++)
34             {
35                 for (int j = 1; j <= str2.Length; j++)
36                 {
37                     //相等的情況
38                     if (str1[i - 1] == str2[j - 1])
39                     {
40                         martix[i, j] = martix[i - 1, j - 1] + 1;
41                     }
42                     else
43                     {
44                         //比較“左邊”和“上邊“，根據其max來填充
45                         if (martix[i - 1, j] >= martix[i, j - 1])
46                             martix[i, j] = martix[i - 1, j];
47                         else
48                             martix[i, j] = martix[i, j - 1];
49                     }
50                 }
51             }
52         }
53     }
54 }

圖大家可以自己畫一畫，程式碼完全是根據上面的公式照搬過來的，長度的問題我們已經解決了，這次要解決輸出最長子序列的問題，

我們採用一個標記函式Flag[i,j]，當

①：C[i,j]=C[i-1,j-1]+1  時 標記Flag[i,j]="left_up";    （左上方箭頭）

②：C[i-1,j]>=C[i,j-1]   時 標記Flag[i,j]="left";          （左箭頭）

③: C[i-1,j]<C[i,j-1]     時 標記Flag[i,j]="up";            （上箭頭）

例如：我輸入兩個序列X=acgbfhk，Y=cegefkh。

 1 using System;
 2 
 3 namespace ConsoleApplication2
 4 {
 5     public class Program
 6     {
 7         static int[,] martix;
 8 
 9         static string[,] flag;
10 
11         static string str1 = "acgbfhk";
12 
13         static string str2 = "cegefkh";
14 
15         static void Main(string[] args)
16         {
17             martix = new int[str1.Length + 1, str2.Length + 1];
18 
19             flag = new string[str1.Length + 1, str2.Length + 1];
20 
21             LCS(str1, str2);
22 
23             //列印子序列
24             SubSequence(str1.Length, str2.Length);
25 
26             Console.Read();
27         }
28 
29         static void LCS(string str1, string str2)
30         {
31             //初始化邊界，過濾掉0的情況
32             for (int i = 0; i <= str1.Length; i++)
33                 martix[i, 0] = 0;
34 
35             for (int j = 0; j <= str2.Length; j++)
36                 martix[0, j] = 0;
37 
38             //填充矩陣
39             for (int i = 1; i <= str1.Length; i++)
40             {
41                 for (int j = 1; j <= str2.Length; j++)
42                 {
43                     //相等的情況
44                     if (str1[i - 1] == str2[j - 1])
45                     {
46                         martix[i, j] = martix[i - 1, j - 1] + 1;
47                         flag[i, j] = "left_up";
48                     }
49                     else
50                     {
51                         //比較“左邊”和“上邊“，根據其max來填充
52                         if (martix[i - 1, j] >= martix[i, j - 1])
53                         {
54                             martix[i, j] = martix[i - 1, j];
55                             flag[i, j] = "left";
56                         }
57                         else
58                         {
59                             martix[i, j] = martix[i, j - 1];
60                             flag[i, j] = "up";
61                         }
62                     }
63                 }
64             }
65         }
66 
67         static void SubSequence(int i, int j)
68         {
69             if (i == 0 || j == 0)
70                 return;
71 
72             if (flag[i, j] == "left_up")
73             {
74                 Console.WriteLine("{0}: 當前座標:（{1},{2}）", str2[j - 1], i - 1, j - 1);
75 
76                 //左前方
77                 SubSequence(i - 1, j - 1);
78             }
79             else
80             {
81                 if (flag[i, j] == "up")
82                 {
83                     SubSequence(i, j - 1);
84                 }
85                 else
86                 {
87                     SubSequence(i - 1, j);
88                 }
89             }
90         }
91     }
92 }

由於直接繪圖很麻煩，嘿嘿，我就用手機拍了張：

好，我們再輸入兩個字串：

1         static string str1 = "abcbdab";
2 
3         static string str2 = "bdcaba";

通過上面的兩張圖，我們來分析下它的時間複雜度和空間複雜度。

時間複雜度：構建矩陣我們花費了O(MN)的時間，回溯時我們花費了O（M+N)的時間，兩者相加最終我們花費了O(MN)的時間。

空間複雜度：構建矩陣我們花費了O(MN)的空間，標記函式也花費了O(MN)的空間，兩者相加最終我們花費了O(MN)的空間。

最長公共子序列的長度的動態規劃方程

　　　　設有字串a[0...n]，b[0...m]，下面就是遞推公式。字串a對應的是二維陣列num的行，字串b對應的是二維陣列num的列。

最長公共子序列的長度的動態規劃方程

　　　　設有字串a[0...n]，b[0...m]，下面就是遞推公式。字串a對應的是二維陣列num的行，字串b對應的是二維陣列num的列。