M斐波那契數列

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Problem Description M斐波那契數列F[n]是一種整數數列，它的定義如下：

F[0] = a
F[1] = b
F[n] = F[n-1] * F[n-2] ( n > 1 )

現在給出a, b, n，你能求出F[n]的值嗎？
Input 輸入包含多組測試資料；
每組資料佔一行，包含3個整數a, b, n（ 0 <= a, b, n <= 10^9 ）
Output 對每組測試資料請輸出一個整數F[n]，由於F[n]可能很大，你只需輸出F[n]對1000000007取模後的值即可，每組資料輸出一行。
Sample Input 0 1 0 6 10 2
Sample Output 0 60

123

題意很明確,  求F(N)

一般求法肯定不行;

推公式 寫出F(1)=b F(2)=ab F(3)=ab^2 F(4)=a^2b^3 F(5)=a^3b^5   F(6)=a^5b^8  會發現 對於 b的^ 而言 是一個斐波那契數列 而且是第 N 項 a的^是第N-1 項

所以轉化成 F(N)= a^fib(n-1) * b^fib(n)  

但是 對於斐波那契數列而言 後面的非常大 已經超過long long 了  而且 效率也不高, 但是 矩陣快速冪 就可以在log(N) 內 解決:

 F(0)=0,F(1) =1 ,F(2) =3

  這是斐波那契數列 矩陣 轉換形式        F(0)=0,F(1) =1 ,F(2) =3 

然後  在利用 快速冪 ,  讓我頭疼不已的是  一直WA    問題在於 快速冪上,  因為數非常大 可能會超;

所以得利用 費馬小定理:

假如p是質數，且gcd(a,p)=1，那麼 a^(p-1)≡1（mod p），即：假如a是整數，p是質數，且a,p互質(即兩者只有一個公約數1)，那麼a的(p-1)次方除以p的餘數恆等於1。

a^(p-1)≡1(mod p)

a^n= a^(n%(p-1)) %p      1000000007又是一個素數;

 因此在求矩陣的時候 需要 %(p-1)   ****************   這裡 就是問題所在

程式碼:

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <cstring>

typedef long long ll;
const ll MOD=1000000007;
const int N= 12;
const int MAXN=2;
using namespace std;

struct Matrix{
	ll arr[N][N];
	void init()
	{
		memset(arr,0,sizeof(arr));
		for(int i=0;i<MAXN;i++)
			arr[i][i]=1;//初始化單位矩陣
	}
	void iinit()
	{
	    memset(arr,0,sizeof(arr));
	    arr[0][0]=arr[0][1]=arr[1][0]=1;
	}
}A;
Matrix mul(Matrix X,Matrix Y)// 矩陣乘法
{
	Matrix ans;
	for(int i=0;i<MAXN;i++)
		for(int j=0;j<MAXN;j++){
			ans.arr[i][j]=0;
			for(int k=0;k<MAXN;k++){
                ans.arr[i][j]+=X.arr[i][k]*Y.arr[k][j];
                ans.arr[i][j]%=(MOD-1);// 費馬小定理應用
			}
		}
	return ans;
}
Matrix Q_pow(Matrix B,ll n)// ¾ØÕó¿ìËÙÃÝ
{
	Matrix ans;
	ans.init();
	while(n)
	{
		if(n&1)
			ans=mul(ans,B);
		n>>=1;
		B=mul(B,B);
	}
	return ans;
}
Matrix Add(Matrix a,Matrix b)  //(a+b)%mod 矩陣加法
{
    int i,j,k;
    Matrix ans;
    for(i=0;i<MAXN;i++)
        for(j=0;j<MAXN;j++)
        {
            ans.arr[i][j]=a.arr[i][j]+b.arr[i][j];
            ans.arr[i][j]%=MOD;
        }
    return ans;
}
Matrix Sum(Matrix a,int n)// 矩陣和
{
	int m;
	Matrix ans,pre;
	if(n==1) return ans;
	m=n/2;
	pre=Sum(a,m);
	ans=Add(pre,mul(pre,Q_pow(a,m)));
	if(n&1)
		ans=Add(ans,Q_pow(a,n));
	return ans;
}
ll Quick_pow(ll x,ll n)
{
    ll res=1;
    while(n)
    {
        if(n&1)
            res=(res*x)%MOD;
        x=(x*x)%MOD;
        n >>= 1;
    }
    return res;
}

int main()
{
    ll a,b,n;
    while(~scanf("%lld %lld %lld",&a,&b,&n))
    {
        Matrix ans;
        ans.iinit();
        if(n==0)
            printf("%lld\n",a);
//        else if(n==1)
//            printf("%lld\n",b);
        else
        {
            ans=Q_pow(ans,n-1);
            ll bx=ans.arr[0][0]; //fib(n)
            ll ay=ans.arr[1][0];// fib(n-1)
            ll res=0;
            res= ((Quick_pow(b,bx))*(Quick_pow(a,ay)))%MOD;
            printf("%lld\n",res%MOD);
        }
    }
}