HDU 4549 M斐波那契數列

M斐波那契數列F[n]是一種整數數列，它的定義如下：

題意:
F[0] = a
F[1] = b
F[n] = F[n-1] * F[n-2] ( n > 1 )

給出a, b, n，求出F[n]對1000000007取模後的值.

分析:

通過代數計算F[n]前幾項，

F[2]=a*b;   F[3]=a*b^2;

F[4]=(a^2)*(b^3)  F[5]=(a^3)*(b^5).

......

可以得到F[n]=a^f(n-1)*b^f(n)  .其中f(n)是斐波那契數列(0,1,1,2,3,5,8....)

所以問題轉化為快速求出斐波那契數列（n很大）

注：（ a^ f(n-1) ）%1000000007 是不等於  a^(f(n-1)%1000000007

f(n-1)是個很大的數，不能直接求出來再mod。

此時要用到費馬小定理：假如p是質數，且Gcd(a,p)=1，那麼 a(p-1) ≡1（mod p）。

即是a^f(n-1)%1000000007=a^( f (n - 1 ) %1000000006 )%1000000007

所以利用矩陣快速求出f(n-1)mod1000000006 基本就可以解決了。

/*//////////////////////////////
    
//////////////////////////////*/
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long LL;
int n,mod=1000000007;

struct Matrix
{
    LL m[2][2];
    void clear()
    {
        memset(m,0,sizeof(m));
    }
}E, Z;

Matrix Mut(Matrix A, Matrix B)
{
    Matrix ans;
    for (int i = 0; i<2; i++)
        for (int j = 0; j<2; j++)
        {
            ans.m[i][j] = 0;
            for (int k = 0; k<2; k++)
            {
                ans.m[i][j] += ((A.m[i][k])*(B.m[k][j]));
                ans.m[i][j]%=(mod-1); // mod 1000000006
            }
        }
    return ans;
}
Matrix Pow(Matrix A, int b)
{
    Matrix t = A, ans = E;
    while (b)
    {
        if (b % 2) 
            ans = Mut(ans, t);
        b /= 2;
        t = Mut(t, t);
    }
    return ans;
}
LL P(LL a, LL b)
{
    if(b==0)
        return 1;
    LL x=P(a,b/2);
    LL ans=(long long )x*x%mod;
    if(b%2)
        ans=ans*a%mod;
    return ans;
}
int main()
{
    // freopen("in.txt", "r", stdin);
    Matrix A;
    
    LL a,b;
    while(cin>>a>>b>>n)
    {
        if(n==0)
            cout<<a<<endl;
        else if(n==1)
            cout<<b<<endl;
        else 
        {
            LL t1,t2;
			 A.m[0][0]=1;A.m[0][1]=1;
			 A.m[1][0]=1;A.m[1][1]=0;
            E=A;
            Matrix ans=Pow(A,n-2);
			// t1 : f(n-1) t2: f(n)
            t1=ans.m[0][1];
            t2=ans.m[0][0];
			
			
            LL t=(P(a,t1)*P(b,t2))%mod;
            cout<<t<<endl;
        }
    }
    return 0;
}