題目

木門道伏擊戰(intercept)

【題目背景】

建興九年（231 年）， 諸葛亮率蜀軍四出祁山。 司馬懿料到蜀軍糧草不濟，堅守

不出，又命人在成都散佈諸葛亮欲謀反的謠言。劉禪聽信謠言，下旨命諸葛亮退

兵。在退兵時，魏軍決定追擊，諸葛亮早有防備，在木門道伏擊射殺張郃。

【題目描述】 小 W 在《三國演義》中讀到四出祁山，對此非常感興趣，在思考這場戰役時 他想出了一個問題。 小 W 認為蜀軍共有 N 處伏擊地點，可以把這 N 個伏擊地點從 1 到 N 進行標 號，且蜀軍恰好有 M 個兵種。 由於伏擊需要保證軍隊可以方便地排程，所以不 存在連續 M 個伏擊地點埋伏了 M 個不同的兵種。小 W 想知道所有不同的埋伏 方案數對 1e9+7 取模。

【輸入格式】

一行一個數 N。

輸出格式】

輸出到檔案 intercept.out 中。

一行一個數，表示結果對 1e9+7 取模的結果。

【樣例輸入 1】

3 3

【樣例輸出 1】

21

【資料範圍】 對於 8%的資料， m=2

對於另 16%的資料， n<=10,m<=4

對於 48%的資料， n<=100000,m<=10

對於 80%的資料， n<=100000,2<=m<=100

對於 100%的資料， 2<=m<=100,m<=n<=10^16

題解

–是dp
f[i][j]：前i個位置，末尾最長不相同序列長度為j的方案數
可 以 乘 上(m-j)之 後 轉 移 到f[i+1][j+1],
也 可 以 轉 移 到f[i+1][k]（1<=k<=j）。
由於第二維只到100，並且轉移的係數是固定的，所以可以用矩陣乘法進行優化。

程式碼

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int MAXN=105;
const int mod=1e9+7;

long long n,m;
struct hehe{
	long long f[MAXN][MAXN];
}a,b;

hehe mul(hehe a,hehe b){
	hehe c;
 

	for(int i=1;i<=m;i++)
		for(int j=1;j<=m;j++){
			c.f[i][j]=0;
			for(int k=1;k<=m;k++)
				c.f[i][j]=(c.f[i][j]+a.f[i][k]*b.f[k][j]%mod)%mod;
		}
	return c;
}

long long Pow(hehe a,long long b){
	hehe ans;
	for(int i=1;i<=m;i++)
		ans.f[i][i]=1;
	while(b){
		if(b&1)
			ans=mul(ans,a);
		a=mul(a,a);
		b>>=1;
	}
	long long sum=0;
	for(int i=1;i<=m;i++)
		sum=(sum+ans.f[i][1])%mod;
	return sum;
}

int main(){
//	freopen("intercept.in","r",stdin);
//	freopen("intercept.out","w",stdout);
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=m;i++)
		for(int j=1;j<=m;j++){
			if(i-1==j)
				a.f[i][j]=m-(j-1);
			else if(i==1)
				a.f[i][j]=0;
			else if(i<=j)
				a.f[i][j]=1;
		}
	cout<<Pow(a,n);
	return 0;
}