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【模板】LCA（尤拉序+RMQ）

阿新 • • 發佈：2019-02-08

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平常在資訊學競賽中求LCA一般有三種辦法：

  • 用倍增法求解，預處理複雜度是 O(nlog⁡n) ,每次詢問的複雜度是 O(log⁡n), 屬於線上解法。
  • 利用尤拉序轉化為RMQ問題，用 ST表 求解RMQ問題，預處理複雜度 O(n+nlog⁡n) ，每次詢問的複雜度為 O(1)， 也是線上演算法。
  • 採用Tarjan演算法求解，複雜度 O(α(n)+Q) ，屬於離線演算法。

上述三種演算法都比較常用，這篇文章主要介紹第二種解法。

先介紹一下尤拉序：
對有根樹T進行深度優先遍歷，無論是遞迴還是回溯，每次到達一個節點就把編號記錄下來，得到一個長度為

2N−1 的序列，成為樹 T 的尤拉序列F。

如圖1(Inkscape手畫，略醜輕噴~)：

圖1

圖1−有根樹T

按照深度優先遍歷我們可以得到它的尤拉序和深度序列：

表1−歐拉序列F和深度序列B
序號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
尤拉序列F 1 2 5 2 6 2 1 3 1 4 7 8 7 4 1
深度序列B 1 2 3 2 3 2 1 2 1 2 3 4 3 2 1

為了方便，我們定義 first(u) 表示 u 結點的第一次出現的位置，那麼我們根據上面的表格就可以得到 n 個結點各自的 first 值：

表2−各元素的first值
序號 1 2 3 4 5 6 7 8
first() 1 2 8 10 3 5 11 12

根據深度優先遍歷的特點，我們可以知道，對於結點 u 和結點 v, 我們不妨假設 u 在

v 之前被遍歷，也就是說 first(u)<first(v) ，那麼在 u 遍歷到 v 過程中深度最小的點就是 LCA(u,v) （這一點在Tarjan演算法中也有運用）。

這樣一來，我們就可以將 LCA 問題轉化為RMQ問題：LCA(T,u,v)=RMQ(B,first(u),first(v)) 。

舉個栗子：

仍然以上圖為例，假定 u=6 , v=8 在圖上很明顯能夠看出 LCA(u,v)=1 。同時我們把代表從 u 遍歷到 v 的這個序列”抽“出來：

表3−抽取的歐拉序列F‘和深度序列B′
序號 5 6 7 8 9 10 11 12
尤拉序列F’ 6 2 1 3 1 4 7 8
深度序列B’ 3 2 1 2 1 2 3 4

為什麼要從原序列中抽取 5 ~ 12 這個串呢？原因很簡單，first(6)=5 ， first(8)=12 ，這個值上面的表已經給出了。

可以看出，在這個序列中，深度最小的點的序號是