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通俗易懂的泰勒展開微積分推導過程

阿新 • • 發佈：2019-02-13

相信大家都會求導吧，給定一個f(x)，都可以唯一確定一個導函式f '(x)，導函式給出了原函式的變化情況。
比如f(x)=x^{3}導函式為f^{'} (x)=3 x^{2}
但是，倒過來就不行了，一個導函式f^{'} (x)=3 x^{2}對應原函式為f(x)=x^{3}，f(x)=x^{3} +1，f(x)=x^{3} +2………無窮多個。
寫成積分形式就是
\int_{}^{} 3x^{2}\cdot dx=x^{3} +C
具體求導過程很多，自己看，為什麼呢，因為在求導的過程中，我們雖然得到的函式今後的變化情況，但損失了一部分資訊，就是原函式的初始值。概括一下，
原函式的資訊=導函式的資訊+初始值資訊，
初始值資訊沒了，一個導函式就對應多個原函數了。

知道了原因，我們就可以去掉上面那個惱人的C了，加入初始值資訊就好了。
\int_{0}^{x} f'(x)\cdot dx+f(0)
=\int_{0}^{x} 3x^{2}\cdot dx+0^{3}
=x^{3} +C-0^3-C+0^3
=x^3=f(x)
那個f（0）就是初始資訊。當然初始資訊可以從任意位置開始，不一定從0開始
這時候我們得到了
f(x)=\int_{0}^{x} f'(x)\cdot dx+f(0) (原函式的資訊=導函式的資訊+初始值資訊)
繼續這個過程
f'(x)=\int_{0}^{x} f''(x)\cdot dx+f'(0)


代入得
f(x)=\int_{0}^{x} (\int_{0}^{x} f''(x)\cdot dx+f'(0))\cdot dx+f(0)
=\int_{0}^{x} \int_{0}^{x} f''(x)\cdot dx\cdot dx+\int_{0}^{x} f'(0)\cdot dx+f(0)
=\int_{0}^{x} \int_{0}^{x} f''(x)\cdot dx\cdot dx+\frac{x}{1!} f'(0)+f(0)
再接著做下去
=\int_{0}^{x}\int_{0}^{x} \int_{0}^{x} f'''(x)\cdot dx\cdot dx\cdot dx+\frac{x^2}{2!} f''(0)+\frac{x}{1!} f'(0)+f(0)
無限做下去，前面是餘項，整個是泰勒展開式

泰勒公式
  • formula
公式描述： 泰勒公式可以用若干項連加式來表示一個函式，這些相加的項由函式在某一點的導數求得。
在泰勒公式中，取x0=0，得到的級數 稱為麥克勞林級數。函式 的麥克勞林級數是x的冪級數，那麼這種展開是唯一的，且必然與 的麥克勞林級數一致。
也就是：泰勒公式：f(x)=\frac{f(x)}{0!} +\frac{f(x)^{(1)}}{1!}x+\frac{f(x)^{(2)}}{2!}x^{2} +\frac{f(x)^{(3)}}{3!}x^{3}+\frac{f(x)^{(4)}}{4!}x^{4}+......\frac{f(x)^{(n)}}{n!}x^{n}


常見的麥克勞林級數

下面給出幾個常見函式在x=0處的泰勒級數，即麥克勞林級數。 指數函式： 自然對數： 幾何級數： 正弦函式： 餘弦函式： 正切函式:


更多內容參考：https://www.zhihu.com/question/21149770

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