轉載自：凱特琳的QQ空間
PS:如有看不清的地方 請選中之後檢視

多米諾DP的名字起源於 一道叫做多米諾骨牌的題目，這個題目有一種很獨特的DP思路，由此總結得多米諾DP，更有逼格的說法是雙向揹包。
此種演算法雖然不是我發明的，卻是由我首先總結並命名的，因此被 *和諧* 捧為“煙臺一中年度原創演算法”之一。

在這裡只引用了題目文字，以及思路講解。
由於都是我自己的日誌，還有公開題目，沒有涉及到資料，所以不涉及版權問題
多米諾骨牌：雙向揹包

多米諾骨牌有上下2個方塊組成，每個方塊中有1~6個點。現有排成行的
上方塊中點數之和記為S1，下方塊中點數之和記為S2，它們的差為|S1-S2|。例如在圖8-1中，S1=6+1+1+1=9，S2=1+5+3+2=11，|S1-S2|=2。每個多米諾骨牌可以旋轉180°，使得上下兩個方塊互換位置。
程式設計用最少的旋轉次數使多米諾骨牌上下2行點數之差達到最小。

對於圖中的例子，只要將最後一個多米諾骨牌旋轉180°，可使上下2行點數之差為0。
輸入輸出格式 Input/output
輸入格式：
輸入檔案的第一行是一個正整數n(1≤n≤1000)，表示多米諾骨牌數。接下來的n行表示n個多米諾骨牌的點數。每行有兩個用空格隔開的正整數，表示多米諾骨牌上下方塊中的點數a和b，且1≤a，b≤6。
輸出格式：
輸出檔案僅一行，包含一個整數。表示求得的最小旋轉次數。
輸入輸出樣例 Sample input/output
樣例測試點#1
輸入樣例： 線上IDE
4
6 1
1 5
1 3
1 2
輸出樣例：
1

思路1：把上下牌的差值作為物品的體積，物品的價值為1
先把所有上下牌的差值和記錄為sum
如果翻動一張牌那麼他會使原sum變成sum-2*（上牌-下牌），所以我們翻動一張牌其實會產生2*（上牌-下牌）的效果，而題目要求最小的翻動數，所以陣列元素應該記為翻動次數，所以揹包的體積就是上面提到的效果值，最優的情況下，效果值= -sum的時候 可以使上下牌點數相等，題目要求上下牌點數差值的絕對值最小，所以從-sum向兩邊同時尋找答案。揹包體積的下界在本題中不再是0 而是-5000（所有牌點數差最小值），上界是5000
而且對於每一個物品i，a[i]可正可負，要分開來轉移，因為他們列舉的體積上下界無法統一來寫

豪華遊艇：還記得多米諾DP嗎？

　有一條豪華遊輪（其實就是條小木船），這種船可以執行4種指令：
　　right X : 其中X是一個1到719的整數，這個命令使得船順時針轉動X度。
　　left X : 其中X是一個1到719的整數，這個命令使得船逆時針轉動X度。 　　　forward X : 其中X是一個整數（1到1000），使得船向正前方前進X的距離。
　　backward X : 其中X是一個整數（1到1000），使得船向正後方前進X的距離。
　　隨意的寫出了n個命令，找出一個種排列命令的方法，使得船最終到達的位置距離起點儘可能的遠。
輸入輸出格式 Input/output
輸入格式：
第一行一個整數n(1 <= n <= 50)，表示給出的命令數。
接下來n行，每行表示一個命令。
輸出格式：
一個浮點數，能夠走的最遠的距離，四捨五入到6位小數。
輸入輸出樣例 Sample input/output
樣例測試點#1
輸入樣例： 線上IDE
3
forward 100
backward 100
left 90
輸出樣例：
141.421356

把所有向前走的合併，向後走的合併，所有的操作分為四步走 1.把向前的走完2.轉一定角度（最好是180）3.把向後走的走完4.原地轉完沒轉完的角度。

那麼此題就是求解角度和最接近180.
之前的一片日誌：“多米諾骨牌：雙向揹包”裡面講了一種 多米諾DP思路。用在本題再適合不過了
在講一下預處理：先把任意角變到一圈之內，然後選定一個正方向，反方向的角都變成360-x；
然後就跑多米諾DP,本題只要染色即可，不需要最小轉動數。

總結一下：多米諾DP（雙向揹包）問題適用於這樣一類問題：有一個揹包，體積無限。一些物體，具有體積和價值兩個屬性，且每個物品只能放一次。求揹包能達到的最接近S的體積是多少，或者求達到體積最接近S時需要的最小物品數，或者方案總數等等。

這種演算法由於每次轉移要 進行體積上下界之間所有資料的列舉 和轉移，因此複雜度較高，適合資料較小的情況
一般來講Vmax-Vmin<10000,N<1000.

演算法架構：
1.明確揹包體積的意義（如豪華遊艇的角度之和，多米諾骨牌的上下牌點數之差）
2.估計揹包體積上下界。（如豪華遊艇的0..360，和多米諾骨牌的-5050..5050）
3.將物品的價值做等價處理（像豪華遊艇關於角度的處理，和多米諾骨牌關於牌的點數的處理）
4.外層迴圈列舉物品數，對於每個物品，將f陣列的值copy出來到g陣列中，用f陣列中的合法資料轉移得到更新過的g陣列，最後令f:=g；
5.從題目的最優體積數S開始，向兩邊同時搜尋第一個合法資料。
6.處理資料並輸出答案。

注意：1.在第四步中，如果題目只要求輸出體積數，那麼進行布林染色即可。如果題目要求輸出最優體積數對應的最小物品數，那麼在f中的資料更新g完畢之後，將g[當前物品價值]設定為1，這樣做的正確性顯然。
2.第四步中，如果物品價值有正有負，進行分類轉移，這一點在多米諾骨牌的思路1程式碼實現中體現的很完美。
3.揹包體積的意義確定，以及物品的等價處理是 演算法的重點。關於揹包體積的等價處理，注意可能有左右兩個方向（多米諾骨牌）和順逆（豪華遊艇）等等，我們這裡的物品價值的等價處理只是為了解題方便，不是為了優化，切記。
4.揹包體積寧多勿少，演算法本身複雜度就比較大，因此適用此演算法的題目不會很多，資料也比較小，但一旦有此類題目，一定會讓一大片貪心的考生爆零。所以揹包體積開大一寫，思維過程簡單一些。有時候人腦想到的優化可能是錯誤的，這是導致爆零的重要原因。

最後感謝 *和諧* 的 啟發，以及*和諧* 的肯定，還有洛谷平臺的工作人員。