Codeforces 499 D

題意：給\(n\)個曲子，每個曲子每一秒有\(p_i\)的幾率可以被猜出來，過了\(t_i\)秒肯定能被猜出來，猜完第\(i\)首歌立即播第\(i+1\)首，問\(T\)秒內期望猜多少首。

思路：考慮\(dp\)：\(dp(i,j)\)表示在第\(j\)個時間點正好猜出第\(i\)首歌的概率

轉移方程：\(dp(i,j)=dp(i-1,j-t_i)\times(1-p_i)^{t_i-1}+\sum_{x=1}^{t_i-1}dp(i-1,j-x)\times(1-p_i)^{x-1}\times p_i?\)

可以看出，這個肯定是要超時的，所以對\(\sum\)

原優化：記錄兩個變量\(sum\)和\(mul\)表示\(\sum\)內的式子結果是\(sum\times mul\times p_i\)，然後在\(j+1\)後\(sum+dp(i-1,j-1)/mul-dp(i-1,j-t_i)/(mul/(1-p_i)^{t_i-1})\)，\(mul\times (1-p_i)\)即可。

評：這個優化看起來很對，但是由於\(mul\)實在太小，浮點誤差導致變成了\(0\)，所以不行。

優化：類似滾動哈希，記錄\(sum?\)表示\(\sum?\)內的式子結果是\(sum\times p_i?\)，然後在\(j+1?\)後\(sum\times (1-p_i)+dp(i-1,j-1)-dp(i-1,j-t_i)\times (1-p_i)^{t_i-1}?\)

【Codeforces 499D】Name That Tune